TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 13

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

(a) $z=x^{2}-y^{2}$

(b) $z={\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{8}}-{\frac {y^{2}}{16}}}}$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

3D Plot von $x^{2}-y^{2}$

Höhenlinien von $x^{2}-y^{2}$

Definitionsbereich: $D=\mathbb {R} ^{2}$

Wertebereich: $W=\mathbb {R}$

Höhenlinien:

${\begin{aligned}z_{0}&=x^{2}-y^{2}\\y^{2}&=x^{2}-z_{0}\\y&=\pm {\sqrt {x^{2}-z_{0}}}\end{aligned}}$

Beispiel (b)

3D Plot von ${\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{8}}-{\frac {y^{2}}{16}}}}$

Höhenlinien von ${\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{8}}-{\frac {y^{2}}{16}}}}$

Definitionsbereich:

${\begin{aligned}1-{\frac {x^{2}}{8}}-{\frac {y^{2}}{16}}&\geq 0\\1&\geq {\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {y^{2}}{16}}\\{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {y^{2}}{16}}&\leq 1\end{aligned}}$

Daraus folgt: $D=\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}|{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {y^{2}}{16}}\leq 1\right\}$

Wertebereich: $W=[0,1]$, da der Wert unter der Wurzel nur zwischen 0 und 1 sein kann.

Höhenlinien:

${\begin{aligned}z_{0}&={\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{8}}-{\frac {y^{2}}{16}}}}\\z_{0}^{2}&=1-{\frac {x^{2}}{8}}-{\frac {y^{2}}{16}}\\{\frac {y^{2}}{16}}&=1-{\frac {x^{2}}{8}}-z_{0}^{2}\\y^{2}&=16-2x^{2}-16z_{0}^{2}\\y&=\pm {\sqrt {16-2x^{2}-16z_{0}^{2}}}\\y&=\pm {\sqrt {c-2x^{2}}}\end{aligned}}$

$16-16_{0}^{2}$ kann man zu $c$ zusammenfassen, da es konstant ist. Da $z$ Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann ist der Wertebreich für c 0 ($16-16\cdot 1^{2}=0$) bis 16 ($16-16\cdot 0^{2}=16$).

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Funktionen in mehreren Variablen 1 (ähnliches Beispiel)