TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 13

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

(a) $z=x^2-y^2$

(b) $z=\sqrt{1-\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{16}}$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

3D Plot von $x^2-y^2$

Höhenlinien von $x^2-y^2$

Definitionsbereich: $D={ℝ}^2$

Wertebereich: $W=ℝ$

Höhenlinien:

$\begin{array}{cc}{z}_0& =x^2-y^2\\ y^2& =x^2-z_0\\ y& =\pm \sqrt{x^2-z_0}\end{array}$

Beispiel (b)

3D Plot von $\sqrt{1-\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{16}}$

Höhenlinien von $\sqrt{1-\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{16}}$

Definitionsbereich:

$\begin{array}{cc}1-\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{16}& \ge 0\\ 1& \ge \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{16}\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{16}& \le 1\end{array}$

Daraus folgt: $D=\{(x,y)\in {ℝ}^2|\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{16}\le 1\}$

Wertebereich: $W=[0,1]$, da der Wert unter der Wurzel nur zwischen 0 und 1 sein kann.

Höhenlinien:

$\begin{array}{cc}{z}_0& =\sqrt{1-\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{16}}\\ z_0^2& =1-\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{16}\\ \frac{y^2}{16}& =1-\frac{x^2}{8}-z_0^2\\ y^2& =16-2x^2-16z_0^2\\ y& =\pm \sqrt{16-2x^2-16z_0^2}\\ y& =\pm \sqrt{c-2x^2}\end{array}$

$16-16_0^2$ kann man zu $c$ zusammenfassen, da es konstant ist. Da $z$ Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann ist der Wertebreich für c 0 ($16-16\cdot 1^2=0$) bis 16 ($16-16\cdot 0^2=16$).

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Funktionen in mehreren Variablen 1 (ähnliches Beispiel)