TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 13

From VoWi
Jump to navigation Jump to search

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

(a) z = x^2 - y^2

(b) z=\sqrt{1 - \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{16}}

Lösungsvorschlag[edit]

Beispiel (a)[edit]

3D Plot von x^2 - y^2
Höhenlinien von x^2 - y^2

Definitionsbereich: D = \mathbb R^2

Wertebereich: W = \mathbb R

Höhenlinien:

\begin{align}
z_0&=x^2-y^2 \\
y^2&=x^2-z_0 \\
y&=\pm \sqrt{x^2-z_0}
\end{align}

Beispiel (b)[edit]

3D Plot von \sqrt{1 - \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{16}}
Höhenlinien von \sqrt{1 - \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{16}}

Definitionsbereich:

\begin{align}
1 - \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{16} &\ge 0 \\
1 &\ge \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{16} \\
\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{16} &\le 1
\end{align}

Daraus folgt: D = \left\{ \left(x,y\right) \in \mathbb R^2 | \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{16} \le 1 \right\}

Wertebereich: W = [0,1], da der Wert unter der Wurzel nur zwischen 0 und 1 sein kann.

Höhenlinien:

\begin{align}
z_0&=\sqrt{1 - \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{16}} \\
z_0^2&=1 - \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{16} \\
\frac{y^2}{16}&=1 - \frac{x^2}{8} - z_0^2 \\
y^2&=16 - 2x^2 - 16z_0^2 \\
y&=\pm \sqrt{16 - 2x^2 - 16z_0^2} \\
y&=\pm \sqrt{c - 2x^2}
\end{align}

16-16_0^2 kann man zu c zusammenfassen, da es konstant ist. Da z Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann ist der Wertebreich für c 0 (16-16\cdot1^2=0) bis 16 (16-16\cdot0^2=16).

Links[edit]