TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 18

Gegeben sei die Funktion $f : ℝ^{2} \to ℝ$ mit

f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

Man zeige, dass im Ursprung $(0, 0)$ zwar die partiellen Ableitungen $f_{x}$ und $f_{y}$ existieren, die Funktion dort aber nicht stetig ist.

Lösungsvorschlag

$f_{x} (0, 0) = lim_{x \to 0} \frac{f (x, 0) - f (0, 0)}{x - 0} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot 0}{x^{2} + 0^{2}} - 0}{x - 0} = 0$

$f_{y} (0, 0) = lim_{y \to 0} \frac{f (0, y) - f (0, 0)}{y - 0} = lim_{y \to 0} \frac{\frac{0 \cdot y}{0^{2} + y^{2}} - 0}{y - 0} = 0$

Damit man nur einen Limes hat setzt man einfach $u = x = y$ .

$lim_{u \to 0} f (u, u) = lim_{u \to 0} \frac{u \cdot u}{u^{2} + u^{2}} = lim_{u \to 0} \frac{u^{2}}{2 u^{2}} = \frac{1}{2} \neq 0$

Man sieht, dass der Funktionswert an der Stelle $(0, 0)$ z.B. von $\frac{1}{2}$ auf $0$ springt, weshalb die Funktion dort nicht stetig sein kann.