TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 18

Gegeben sei die Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ mit

f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}

Man zeige, dass im Ursprung $(0,0)$ zwar die partiellen Ableitungen $f_{x}$ und $f_{y}$ existieren, die Funktion dort aber nicht stetig ist.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$f_{x}(0,0)=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x,0)-f(0,0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {x\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}}-0}{x-0}}=0$

$f_{y}(0,0)=\lim _{y\to 0}{\frac {f(0,y)-f(0,0)}{y-0}}=\lim _{y\to 0}{\frac {{\frac {0\cdot y}{0^{2}+y^{2}}}-0}{y-0}}=0$

Damit man nur einen Limes hat setzt man einfach $u=x=y$ .

$\lim _{u\to 0}f(u,u)=\lim _{u\to 0}{\frac {u\cdot u}{u^{2}+u^{2}}}=\lim _{u\to 0}{\frac {u^{2}}{2u^{2}}}={\frac {1}{2}}\neq 0$

Man sieht, dass der Funktionswert an der Stelle $(0,0)$ z.B. von ${\frac {1}{2}}$ auf $0$ springt, weshalb die Funktion dort nicht stetig sein kann.