TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 340

Durch $z=\frac{xy}{x+y}$ ist eine Fläche in ${ℝ}^3$ gegeben. Die Beschränkung von $x$ und $y$ auf die Werte $x=e^t$ und $y=e^{-t}$ ($t\in ℝ$) liefert eine Kurve auf dieser Fläche. Man bestimme $\frac{dz}{dt}$ mit der Kettenregel und mache die Probe, indem man zuerst $x$ und $y$ in $z$ einsetzt und anschließend nach dem Parameter $t$ differenziert. Wo verläuft diese Kurve auf der Fläche horizontal?

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Hilfreiches

Quotientenregel

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$   (Satz 5.5)

Kettenregel

$F(x)=f(u(x),v(x))\to F^{\prime }(x)=f_u{u}^{\prime }+f_v{v}^{\prime }$

Lösungsvorschlag

$z(x,y)=\frac{xy}{x+y}$

$x(t)=e^t$ => $x^{\prime }(t)=e^t$

$y(t)=e^{-t}$ => $y^{\prime }(t)=-e^{-t}$

$z_x(x,y)=\frac{y\cdot (x+y)-xy\cdot 1}{{(x+y)}^2}=\frac{xy+y^2-xy}{{(x+y)}^2}=\frac{y^2}{{(x+y)}^2}$

$z_y(x,y)=\frac{x\cdot (x+y)-xy\cdot 1}{{(x+y)}^2}=\frac{x^2+xy-xy}{{(x+y)}^2}=\frac{x^2}{{(x+y)}^2}$

$\frac{dz}{dt}=z_x(x,y)\cdot x^{\prime }(t)+z_y(x,y)\cdot y^{\prime }(t)=\frac{y^2}{{(x+y)}^2}\cdot e^t+\frac{x^2}{{(x+y)}^2}\cdot (-e^{-t})=\frac{y^2\cdot e^t-x^2\cdot e^{-t}}{{(x+y)}^2}$

Einsetzen von $x=e^t$ und $y=e^{-t}$:

$\frac{dz}{dt}=\frac{{\left(e^{-t}\right)}^2\cdot e^t-{\left(e^t\right)}^2\cdot e^{-t}}{{(e^t+e^{-t})}^2}=\frac{e^{t-2t}-e^{2t-t}}{{(e^t+e^{-t})}^2}=\frac{e^{-t}-e^t}{{(e^t+e^{-t})}^2}$

Probe

$x=e^t$ und $y=e^{-t}$ in $z$ einsetzen und dann nach $t$ differenzieren:

$z(t)=\frac{e^t\cdot e^{-t}}{e^t+e^{-t}}=\frac{1}{e^t+e^{-t}}$

$z^{\prime }(t)=\frac{0\cdot (e^t+e^{-t})-1\cdot (e^t-e^{-t})}{{(e^t+e^{-t})}^2}=\frac{e^{-t}-e^t}{{(e^t+e^{-t})}^2}$

Wo verläuft die Kurve horizontal

--Jules 16:18, 12. Apr. 2011 (CEST)

Die Kurve verläuft horizontal, wenn $\frac{dz}{dt}=0$ gilt.

$\begin{array}{cc}\frac{e^{-t}-e^t}{{(e^t+e^{-t})}^2}& =0\\ e^{-t}-e^t& =0\\ e^{-t}& =e^t\\ \frac{1}{e^t}& =e^t\\ 1& =e^{2t}\\ t& =0\end{array}$

Daraus ergeben sich folgende Koordinaten:

$x(0)=e^0=1$

$y(0)=e^{-0}=1$

$z(0)=\frac{e^{-0}\cdot e^0}{e^0+e^{-0}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 28

Links

• Lösung aus dem WS04 (PDF)