TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 49

Man löse die inhomogene lineare Differentialgleichung $xy'+y=6x^{2}+6x+2$.

Lösungsvorschlag

Vorbereitung

Die Gleichung muss auf die form $y'+a(x)y=s(x)$ gebracht werden:

${\begin{aligned}xy'+y&=6x^{2}+6x+2\\y'+\underbrace {\frac {1}{x}} _{a(x)}y&=\underbrace {6x+6+{\frac {2}{x}}} _{s(x)}\end{aligned}}$

homogenen Gleichung

${\begin{aligned}y'+{\frac {1}{x}}y&=0\\y'&=-{\frac {1}{x}}y\\{\frac {y'}{y}}&=-{\frac {1}{x}}\\\int {\frac {y'}{y}}&=-\int {\frac {1}{x}}\\\ln {|y|}&=-\ln {|x|}+c\\e^{\ln {|y|}}&={\frac {e^{c}}{e^{\ln {|x|}}}}\\y_{h}^{(x)}&={\frac {e^{c}}{x}}={\frac {c}{x}}\end{aligned}}$

inhomogene Gleichung

Die partikuläre Lösung bekommen wir durch "Variation der Konstanten" $c\rightarrow c(x)$ $y_{h}(x)=c\cdot {\frac {1}{x}}\Rightarrow y_{h}(x)=c(x)\cdot {\frac {1}{x}}$ und nun in die inhomogene Gleichung einsetzen:

(Anmerkung: Achtung $c(x)$ ist jetzt eine Funktion in $x$, also muss hier die Kettenregel angewendet werden bei $y'$ bzw. $c'(x)$) Anmerkung ilavicion: Hier ist wohl die Produktregel gemeint. Anmerkung zur Anmerkung: mMn beides. Es ist die Produktregel anzuwenden, da c(x) eine Funktion ist muss aber eigentlich auch die Kettenregel angewandt werden, also die innere Ableitung multipliziert werden. Die ist jedoch 1 (steht auch so unten da)

${\begin{aligned}xy'+y&=6x^{2}+6x+2\\x\cdot \left(c'(x)\cdot {\frac {1}{x}}\cdot 1+c(x)\cdot \left(-1\cdot {\frac {1}{x^{2}}}\right)\right)+\left(c(x)\cdot {\frac {1}{x}}\right)&=6x^{2}+6x+2\\c'(x)-c(x)\cdot {\frac {1}{x}}+c(x)\cdot {\frac {1}{x}}&=6x^{2}+6x+2\\c'(x)&=6x^{2}+6x+2\\\int c'(x)&=\int 6x^{2}+6x+2\\c(x)&=2x^{3}+3x^{2}+2x\end{aligned}}$

Einsetzen in die partikuläre Lösung:

$y_{p}^{(x)}=c(x)\cdot {\frac {1}{x}}=2x^{2}+3x+2$

allgemeine Lösung

${\begin{aligned}y(x)&=y_{p}^{(x)}+y_{h}^{(x)}\\y(x)&=2x^{2}+3x+2+{\frac {c}{x}}\end{aligned}}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialgleichungen 14 (ähnliches Beispiel)