TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 49

Man löse die inhomogene lineare Differentialgleichung $x{y}^{\prime }+y=6x^2+6x+2$.

Lösungsvorschlag

Vorbereitung

Die Gleichung muss auf die form $y^{\prime }+a(x)y=s(x)$ gebracht werden:

$\begin{array}{cc}x{y}^{\prime }+y& =6x^2+6x+2\\ y^{\prime }+\underset{a(x)}{\underbrace{\frac{1}{x}}}y& =\underset{s(x)}{\underbrace{6x+6+\frac{2}{x}}}\end{array}$

homogenen Gleichung

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }+\frac{1}{x}y& =0\\ y^{\prime }& =-\frac{1}{x}y\\ \frac{y^{\prime }}{y}& =-\frac{1}{x}\\ \int \frac{y^{\prime }}{y}& =-\int \frac{1}{x}\\ \ln |y|& =-\ln |x|+c\\ e^{\ln |y|}& =\frac{e^c}{e^{\ln |x|}}\\ y_h^{(x)}& =\frac{e^c}{x}=\frac{c}{x}\end{array}$

inhomogene Gleichung

Die partikuläre Lösung bekommen wir durch "Variation der Konstanten" $c\to c(x)$ $y_h(x)=c\cdot \frac{1}{x}\Rightarrow y_h(x)=c(x)\cdot \frac{1}{x}$ und nun in die inhomogene Gleichung einsetzen:

(Anmerkung: Achtung $c(x)$ ist jetzt eine Funktion in $x$, also muss hier die Kettenregel angewendet werden bei $y^{\prime }$ bzw. $c^{\prime }(x)$) Anmerkung ilavicion: Hier ist wohl die Produktregel gemeint. Anmerkung zur Anmerkung: mMn beides. Es ist die Produktregel anzuwenden, da c(x) eine Funktion ist muss aber eigentlich auch die Kettenregel angewandt werden, also die innere Ableitung multipliziert werden. Die ist jedoch 1 (steht auch so unten da)

$\begin{array}{cc}x{y}^{\prime }+y& =6x^2+6x+2\\ x\cdot (c^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{x}\cdot 1+c(x)\cdot (-1\cdot \frac{1}{x^2}))+(c(x)\cdot \frac{1}{x})& =6x^2+6x+2\\ c^{\prime }(x)-c(x)\cdot \frac{1}{x}+c(x)\cdot \frac{1}{x}& =6x^2+6x+2\\ c^{\prime }(x)& =6x^2+6x+2\\ \int c^{\prime }(x)& =\int 6x^2+6x+2\\ c(x)& =2x^3+3x^2+2x\end{array}$

Einsetzen in die partikuläre Lösung:

$y_p^{(x)}=c(x)\cdot \frac{1}{x}=2x^2+3x+2$

allgemeine Lösung

$\begin{array}{cc}y(x)& =y_p^{(x)}+y_h^{(x)}\\ y(x)& =2x^2+3x+2+\frac{c}{x}\end{array}$

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialgleichungen 14 (ähnliches Beispiel)