TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 7

Man finde eine explizite Darstellung für die Partialsummen der Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{n(n+1)}$

(Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenzen passender Ausdrücke dar.)

Lösungsvorschlag von Enrimilan

$\sum _{k=1}^n\frac{2}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n(\frac{2}{k}-\frac{2}{k+1})$ ... Partialbruchzerlegung
$=\frac{2}{1}-\frac{2}{2}+\frac{2}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{2}{4}+\frac{2}{4}-\frac{2}{5}+\dots +\frac{2}{n-1}-\frac{2}{(n-1)+1}+\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}=2-\frac{2}{n+1}$

Anmerkung/Zwischenüberlegung daJu:

$=\frac{2}{1}(-\frac{2}{2}+\frac{2}{2})(-\frac{2}{3}+\frac{2}{3})(-\frac{2}{4}+\frac{2}{4})(-\frac{2}{5}+\dots +\frac{2}{n-1})(-\frac{2}{(n-1)+1}+\frac{2}{n})-\frac{2}{n+1}$
die Paare in den Klammern lösen sich jeweils auf und übrig bleibt nur noch:
$=\frac{2}{1}-\frac{2}{n+1}=2-\frac{2}{n+1}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{n(n+1)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{n=1}^n\frac{2}{n(n+1)})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2-\frac{2}{n+1})=2$
Leichter: Man kann die 2 hervorheben weil sie nur eine Konstante ist. (wir wissen aus der Vorlesung dass für die Teleskopsumme gilt dass $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}=1$) Also gilt:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{n(n+1)}=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}=2$