TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS12/Beispiel 7

Man finde eine explizite Darstellung für die Partialsummen der Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(n+1)}}$

(Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenzen passender Ausdrücke dar.)

Lösungsvorschlag von Enrimilan

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{n}({\frac {2}{k}}-{\frac {2}{k+1}})$ ... Partialbruchzerlegung
$={\frac {2}{1}}-{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{2}}-{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3}}-{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{4}}-{\frac {2}{5}}+\dots +{\frac {2}{n-1}}-{\frac {2}{(n-1)+1}}+{\frac {2}{n}}-{\frac {2}{n+1}}=2-{\frac {2}{n+1}}$

Anmerkung/Zwischenüberlegung daJu:

$={\frac {2}{1}}(-{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{2}})(-{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3}})(-{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{4}})(-{\frac {2}{5}}+\dots +{\frac {2}{n-1}})(-{\frac {2}{(n-1)+1}}+{\frac {2}{n}})-{\frac {2}{n+1}}$
die Paare in den Klammern lösen sich jeweils auf und übrig bleibt nur noch:
$={\frac {2}{1}}-{\frac {2}{n+1}}=2-{\frac {2}{n+1}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(n+1)}}=\lim _{n\to \infty }(\sum _{n=1}^{n}{\frac {2}{n(n+1)}})=\lim _{n\to \infty }(2-{\frac {2}{n+1}})=2$
Leichter: Man kann die 2 hervorheben weil sie nur eine Konstante ist. (wir wissen aus der Vorlesung dass für die Teleskopsumme gilt dass $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=1$) Also gilt:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(n+1)}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=2$