TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 64

Mit Hilfe eines geeigneten Konvergenzkriteriums untersuche man die folgenden Reihen auf Konvergenz:

(a) $\frac{1}{2^1}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^5}+\frac{7}{2^7}+\dots$

(b) $\frac{1}{11}+\frac{1}{101}+\frac{1}{1001}+\frac{1}{10001}+\dots$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$a_n=\frac{1+2n}{2^{1+2n}}$

$\begin{array}{cc}\frac{a_{n+1}}{a_n}& =\frac{\frac{1+2(n+1)}{2^{1+2(n+1)}}}{\frac{1+2n}{2^{1+2n}}}\\ & =\frac{(3+2n)\cdot 2^{1+2n}}{(1+2n)\cdot 2^{1+2(n+1)}}\\ & =\frac{(3+2n)\cdot 2^{1+2n}}{(1+2n)\cdot 2^2\cdot 2^{1+2n}}\\ & =\frac{3+2n}{(1+2n)\cdot 2^2}\\ & =\frac{3+2n}{4+8n}\\ & =\frac{2+\frac{3}{n}}{8+\frac{4}{n}}\end{array}$

Aus $\frac{2+\frac{3}{n}}{8+\frac{4}{n}}\le q<1$ folgt die Konvergenz.

Beispiel (b)

$a_n=\frac{1}{10^n+1}$

$\begin{array}{cc}\frac{a_{n+1}}{a_n}& =\frac{\frac{1}{10^{n+1}+1}}{\frac{1}{10^n+1}}\\ & =\frac{10^n+1}{10^{n+1}+1}\\ & =\frac{1+\frac{1}{10^n}}{10+\frac{1}{10^n}}\end{array}$

Aus $\frac{1+\frac{1}{10^n}}{10+\frac{1}{10^n}}\le q<1$ folgt die Konvergenz.

Anmerkung

Mit dem Majiorantenkriterium ist es eigentlich viel einfacher!

Bei Beispiel (b) Wenn ich n=0 einsetze hätte ich a0 = 1/2 ist Falsch. Dann wäre an = 1/(10^(n+1)+1) richtig.