TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 64

Mit Hilfe eines geeigneten Konvergenzkriteriums untersuche man die folgenden Reihen auf Konvergenz:

(a) ${\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+{\frac {5}{2^{5}}}+{\frac {7}{2^{7}}}+\dots$

(b) ${\frac {1}{11}}+{\frac {1}{101}}+{\frac {1}{1001}}+{\frac {1}{10001}}+\dots$

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$a_{n}={\frac {1+2n}{2^{1+2n}}}$

${\begin{aligned}{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}&={\frac {\frac {1+2(n+1)}{2^{1+2(n+1)}}}{\frac {1+2n}{2^{1+2n}}}}\\&={\frac {(3+2n)\cdot 2^{1+2n}}{(1+2n)\cdot 2^{1+2(n+1)}}}\\&={\frac {(3+2n)\cdot 2^{1+2n}}{(1+2n)\cdot 2^{2}\cdot 2^{1+2n}}}\\&={\frac {3+2n}{(1+2n)\cdot 2^{2}}}\\&={\frac {3+2n}{4+8n}}\\&={\frac {2+{\frac {3}{n}}}{8+{\frac {4}{n}}}}\end{aligned}}$

Aus ${\frac {2+{\frac {3}{n}}}{8+{\frac {4}{n}}}}\leq q<1$ folgt die Konvergenz.

Beispiel (b)

$a_{n}={\frac {1}{10^{n}+1}}$

${\begin{aligned}{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}&={\frac {\frac {1}{10^{n+1}+1}}{\frac {1}{10^{n}+1}}}\\&={\frac {10^{n}+1}{10^{n+1}+1}}\\&={\frac {1+{\frac {1}{10^{n}}}}{10+{\frac {1}{10^{n}}}}}\end{aligned}}$

Aus ${\frac {1+{\frac {1}{10^{n}}}}{10+{\frac {1}{10^{n}}}}}\leq q<1$ folgt die Konvergenz.

Anmerkung

Mit dem Majiorantenkriterium ist es eigentlich viel einfacher!

Bei Beispiel (b) Wenn ich n=0 einsetze hätte ich a0 = 1/2 ist Falsch. Dann wäre an = 1/(10^(n+1)+1) richtig.