TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 167

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Mit Hilfe der Taylorentwicklung approximiere man die Funktion durch eine lineare bzw. eine quadratische Polynomfunktion im Punkt . Wie groß ist der Fehler an der Stelle

? (Hinweis: Den Approximationsfehler stelle man durch das Restglied in Lagrangescher Form dar und schatze diesen Fehler (durch geeignete Wahl der unbekannten Zwischenstelle) nach oben ab.)

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}


Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da eine quadratische Polynomfunktion konstruiert werden soll benötigen wir die ersten zwei Ableitungen der ursprünglichen Funktion.

Daher ist die Taylorreihenentwicklung gegeben durch (Wie wieso warum was? => Herleitung in einem anderen Beispiel: TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_WS12/Beispiel_35 )

Um den Fehler abschätzen zu können betrachten wir das Lagransche Restglied. (Dabei muss bzw. )

Da dieser Ausdruck sein Maximum bei annimmt kann man folgende Ungleichung aufstellen und sieht, dass der Fehler durch 0,0135 beschränkt ist.