TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS15/Beispiel 157

Sei $T_{n}(x)$ das n-te Taylorpolynom der Funktion $f(x)=e^{x}$ mit Entwicklungspunkt $x_{0}=0$. Durch Untersuchung des Restglieds $R_{n}(x)$ in Lagrangescher Form bei dieser Taylor-Entwicklung gebe man an, wie groß $n$ sein muss, damit an der Stelle $x=0,1$ der Unterschied zwischen $T_{n}(x)$ und $e^{x}$ kleiner als $10^{-10}$ ist.

Lösungsvorschlag

Das Lagransche Restglied ist definiert als
${\begin{aligned}R_{n}(x)={\frac {e^{\xi }}{(n+1)!}}{(x-x_{0})}^{n+1}\end{aligned}}$
Wir setzen $x_{0}$ und $x$ ein. Da $\xi \in [x_{0},x]$ gilt wählen wir $\xi =0.1$ da das Restglied an dieser Stelle sein Maximum annimmt.
Der gesuchte Wert von $n$ kann durch Lösen der dadurch entstehenden Ungleichung gefunden werden, also
${\begin{aligned}{\frac {e^{\frac {1}{10}}}{(n+1)!}}{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{n+1}<10^{-10}\end{aligned}}$
Ausprobieren mithilfe eines Taschenrechners liefert $n\geq 6$.