TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS15/Beispiel 157

Sei $T_n(x)$ das n-te Taylorpolynom der Funktion $f(x)=e^x$ mit Entwicklungspunkt $x_0=0$. Durch Untersuchung des Restglieds $R_n(x)$ in Lagrangescher Form bei dieser Taylor-Entwicklung gebe man an, wie groß $n$ sein muss, damit an der Stelle $x=0,1$ der Unterschied zwischen $T_n(x)$ und $e^x$ kleiner als $10^{-10}$ ist.

Lösungsvorschlag

Das Lagransche Restglied ist definiert als
$\begin{array}{c}{R}_n(x)=\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}{(x-x_0)}^{n+1}\end{array}$
Wir setzen $x_0$ und $x$ ein. Da $\xi \in [x_0,x]$ gilt wählen wir $\xi =0.1$ da das Restglied an dieser Stelle sein Maximum annimmt.
Der gesuchte Wert von $n$ kann durch Lösen der dadurch entstehenden Ungleichung gefunden werden, also
$\begin{array}{c}\frac{e^{\frac{1}{10}}}{(n+1)!}{\left(\frac{1}{10}\right)}^{n+1}<10^{-10}\end{array}$
Ausprobieren mithilfe eines Taschenrechners liefert $n\ge 6$.