TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS15/Beispiel 2
Man gebe eine Folge reeler Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle ganzen Zahlen hat (Hinweis: Das n-te Folgeglied muss nicht explizit angegeben werden?
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Man kann eine Folge mithilfe Cantors erstem Diagonalargument erstellen. Ein Bruch besteht immer aus 2 Zahlen dies kann man ausnutzen indem man ein Feld wie folgt erstellt:
1 2 3 4 5 . . . 1 2 3 4 5 . . .
Nun dividiert man immer die in dem jeweiligen Feld oben angegebene Zahl durch die links angegebene Zahl. Man bekommt also:
1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 für die erste Zeile
1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 für die zweite Zeile etc.
Diese Brüche werden jetzt in der Reihenfolge aufgeschrieben in der sie in Diagonaler Reihenfolge als erstes kommen würden: 1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, 1/3, ...
Nun werden die nicht gekürzten Brüche (zB: 2/2 = 1) wieder rausgenommen, und für alle restlichen dahinter die negative Version zu dem Bruch dazugeschrieben: (0 hab ich hier auch noch dazu gefügt damit wir wirklich alle haben) 0,1,-1,1/2,-1/2,2-2,3-3,1/3,-1/3,...
Wenn wir nun eine Folge mit Häufungspunkten haben wollen, erstellen wir diese nun äquivalent zu Beispiel 1 und 2 (aus SS14):
[0, 0,1,-1, 0,1,-1,1/2,-1/2, 0,1,-1,1/2,-1/2,2-2, 0,1,-1,1/2,-1/2,2-2,3-3, 0,1,-1,1/2,-1/2,2-2,3-3,1/3,-1/3,... ]
Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Cantors erstes Diagonalargument: https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument#Vorgehen_bei_Cantors_erstem_Diagonalargument
Beispiel1: TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS10/Beispiel_515
Beispiel2: TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS14/Beispiel_2