TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS15/Beispiel 223

Man berechne:

$\int \frac{x^3+x^2+7}{x^2+5x+6}dx$

Lösungsvorschlag

Systematische Anwendung der Partialbruchzerlegungsmethoden führt zum Ergebnis.

Als erstes sehen wir, dass grad P(x) > grad Q(x), d.h. wir müssen zuerst eine Polynomdivision P(x):Q(x) = S(x) + R(x)/Q(x) durchführen

$(x^3+x^2+7):(x^2+5x+6)=x-4+\frac{14x+31}{x^2+5x+6}$

soweit haben wir die Angabe also auf folgendes umgeformt:

$\int (x-4)\mathrm{d}x+\int \frac{14x+31}{x^2+5x+6}\mathrm{d}x$

x-4 lässt sich leicht integrieren, der Bruch rechts lässt sich mittels Partialbruchzerlegung bewältigen. Um eine geeignete Form zu erhalten müssen wir das Nennerpolynom zuerst faktorisieren, und erhalten dann die Form

$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$

$\frac{14x+31}{x^2+5x+6}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x+3)}$

nach lösen der Gleichung erhalten wir für A=3 und B=11

setzen wir nun alles zusammen erhalten wir

$\int (x-4)+\int \frac{3}{(x+2)}+\int \frac{11}{(x+3)}=\frac{x^2}{2}-4x+3\cdot \ln |x+2|+11\cdot \ln |x+3|+C$

Zwischenschritte

Gleichungssystem Lösen

Nach Umformung und Sortierung der obigen Gleichung erhalten wir:

$\begin{array}{cc}14x+31& =A\cdot (x+3)+B\cdot (x+2)\\ & =Ax+3A+Bx+2B\\ & =(A+B)x+3A+2B\end{array}$

nun haben wir hier bereits eine schöne Form für den Koeffizientenvergleich

$14x^1+31x^0=(A+B)x^1+(3A+2B)x^0$

daraus folgt ein lineares Gleichungssystem

$\begin{array}{cc}14& =A+B\\ 31& =3A+2B\end{array}$

welches sich recht leicht lösen lässt

$A=14-B$

$31=3(14-B)+2B=42-1B\Rightarrow B=11$

$\Rightarrow A=14-11=3$