TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 10

Man berechne mit Hilfe der komplexen Zahlen und unter Verwendung der Moivre'schen Formel $(cosx+isinx)^{n}=cos(nx)+isin(nx)$den Wert der beiden Reihen

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {cos({\frac {n\pi }{3}})}{2^{n}}}$ und $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {sin({\frac {n\pi }{3}})}{2^{n}}}$

Lösungsvorschlag von Ramzesenok

Beobachten wir die beiden Summen zusammen:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {cos({\frac {n\pi }{3}})+isin({\frac {n\pi }{3}})}{2^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }({\frac {cos({\frac {\pi }{3}})+isin({\frac {\pi }{3}})}{2}})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }({\frac {0.5+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{2}})^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }({\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4}})^{n}$

Da $\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {1}{1-q}}$, weiter gilt:

$\sum _{n=0}^{\infty }({\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4}})^{n}={\frac {1}{1-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4}}}}={\frac {1}{{\frac {3}{4}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{4}}}}$

Wir können hier $(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}$ verwenden, indem wir das Ganze mit ${\frac {{\frac {3}{4}}-{\frac {i{\sqrt {3}}}{4}}}{{\frac {3}{4}}-{\frac {i{\sqrt {3}}}{4}}}}$ multiplizieren:

${\frac {1}{{\frac {3}{4}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{4}}}}*{\frac {{\frac {3}{4}}-{\frac {i{\sqrt {3}}}{4}}}{{\frac {3}{4}}-{\frac {i{\sqrt {3}}}{4}}}}={\frac {{\frac {3}{4}}-{\frac {i{\sqrt {3}}}{4}}}{{\frac {9}{16}}-{\frac {-3}{16}}}}={\frac {3-i{\sqrt {3}}}{3}}=1-i{\frac {\sqrt {3}}{3}}$

Daher $1$ ist der reele Teil und $-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$ ist der imaginäre Teil

Schließlich: $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {cos({\frac {n\pi }{3}})}{2^{n}}}=1$ und $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {sin({\frac {n\pi }{3}})}{2^{n}}}=-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$