TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 10

Man berechne mit Hilfe der komplexen Zahlen und unter Verwendung der Moivre'schen Formel $(cosx+isinx{)}^n=cos(nx)+isin(nx)$den Wert der beiden Reihen

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{cos(\frac{n\pi }{3})}{2^n}$ und $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{sin(\frac{n\pi }{3})}{2^n}$

Lösungsvorschlag von Ramzesenok

Beobachten wir die beiden Summen zusammen:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{cos(\frac{n\pi }{3})+isin(\frac{n\pi }{3})}{2^n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{cos(\frac{\pi }{3})+isin(\frac{\pi }{3})}{2}{)}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{0.5+i\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}{)}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1+i\sqrt{3}}{4}{)}^n$

Da $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n=\frac{1}{1-q}$, weiter gilt:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1+i\sqrt{3}}{4}{)}^n=\frac{1}{1-\frac{1+i\sqrt{3}}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}+\frac{i\sqrt{3}}{4}}$

Wir können hier $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ verwenden, indem wir das Ganze mit $\frac{\frac{3}{4}-\frac{i\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}-\frac{i\sqrt{3}}{4}}$ multiplizieren:

$\frac{1}{\frac{3}{4}+\frac{i\sqrt{3}}{4}}\ast \frac{\frac{3}{4}-\frac{i\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}-\frac{i\sqrt{3}}{4}}=\frac{\frac{3}{4}-\frac{i\sqrt{3}}{4}}{\frac{9}{16}-\frac{-3}{16}}=\frac{3-i\sqrt{3}}{3}=1-i\frac{\sqrt{3}}{3}$

Daher $1$ ist der reele Teil und $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ ist der imaginäre Teil

Schließlich: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{cos(\frac{n\pi }{3})}{2^n}=1$ und $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{sin(\frac{n\pi }{3})}{2^n}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$