TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 11

Für n = 1, 2, 3, ... sei

$a_{n}={\frac {1}{n^{2}}},b_{n}={\frac {1}{(n+1)(n+2)}},c_{n}={\frac {1}{n+1}},d_{n}={\frac {1}{n+2}}$

Weiter sei

$A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},B=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n},C=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n},D=\sum _{n=1}^{\infty }d_{n}$

(a) Berechnen Sie die Partialsummen und den Grenzwert von B.

(b) Warum ist B = C-D falsch, obwohl $b_{n}=c_{n}-d_{n}$gilt?

(c) Zeigen Sie, dass $a_{n}\leq 6b_{n}$für $n\geq 1$ , und schließen Sie daraus auf die Konvergenz der Reihe A?

Lösungsvorschlag von Bisco

(a)

$b_{n}={\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$ Siehe Beispiel 4.38, Seite 150

Wir setzen: $k=(n+1)\Rightarrow b_{n}={\frac {1}{k(k+1)}}$

Wir wissen: $\sum {\frac {1}{k*(k+1)}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}$

Somit ist $b_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}}$ =

$s_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+...+{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}s_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n+2}}$

$\lim _{n\to \infty }s_{n}={\frac {1}{2}}$

(b)

B = 1/2, $c_{n}$und $d_{n}$ gehen gegen 0... daher 0 - 0 = 0

(c) [Edit von Walden99]
1. müssen wir zeigen, dass ${\frac {1}{n^{2}}}<=6*{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$ gilt.
2. Konvergenz von Reihe A können wir durch das Majorantenkriterium (Buch Seite 167, Satz 4.47) sehen. Denn daraus folgt, wenn Folge a kleiner gleich Folge b ist und B (wie bereits vorher gezeigt) konvergent ist, dann ist auch die Reihe A konvergent.