TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 11

Für n = 1, 2, 3, ... sei

$a_n=\frac{1}{n^2},b_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)},c_n=\frac{1}{n+1},d_n=\frac{1}{n+2}$

Weiter sei

$A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,B=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n,C=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n,D=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{d}_n$

(a) Berechnen Sie die Partialsummen und den Grenzwert von B.

(b) Warum ist B = C-D falsch, obwohl $b_n=c_n-d_n$gilt?

(c) Zeigen Sie, dass $a_n\le 6b_n$für $n\ge 1$ , und schließen Sie daraus auf die Konvergenz der Reihe A?

Lösungsvorschlag von Bisco

(a)

$b_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ Siehe Beispiel 4.38, Seite 150

Wir setzen: $k=(n+1)\Rightarrow b_n=\frac{1}{k(k+1)}$

Wir wissen: $\sum \frac{1}{k\ast (k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

Somit ist $b_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$ =

$s_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}{s}_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n=\frac{1}{2}$

(b)

B = 1/2, $c_n$und $d_n$ gehen gegen 0... daher 0 - 0 = 0

(c) [Edit von Walden99]
1. müssen wir zeigen, dass $\frac{1}{n^2}<=6\ast \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ gilt.
2. Konvergenz von Reihe A können wir durch das Majorantenkriterium (Buch Seite 167, Satz 4.47) sehen. Denn daraus folgt, wenn Folge a kleiner gleich Folge b ist und B (wie bereits vorher gezeigt) konvergent ist, dann ist auch die Reihe A konvergent.