TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 12

Was ist an nachstehender Rechnung falsch?

$\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}-{\frac {1}{12}}\pm ...$

addiert mit:

${\frac {1}{2}}\ln 2=0+{\frac {1}{2}}+0-{\frac {1}{4}}+0+{\frac {1}{6}}+0-{\frac {1}{8}}+0+{\frac {1}{10}}+0-{\frac {1}{12}}\pm ...$

ergibt:

${\frac {3}{2}}\ln 2=1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-{\frac {1}{6}}\pm ...=\ln 2$

Lösungsvorschlag von Bisco

Satz: 4.46 (Riemann'scher Umordnungssatz): Eine bedingt konvergente Reihe lässt sich so umordnen, dass sie gegen eine beliebige Zahl (uneigentlich) konvergiert.

Absolut konvergente Reihen lassen sich beliebig umsortieren und konvergieren weiterhin gegen denselben Grenzwert.

Def. 4.43: Eine Reihe $\sum {a_{n}}$heisst absolut konvergent, wenn $\sum {|a_{n}|}$konvergent ist. Eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergent ist, nennt man bedingt konvergent.

Die oberste Reihe ist konvergent (folgt aus dem Leibnizkriterium) aber nicht absolut konvergent.

Wenn sie also beliebig umsortiert wird (wie in dem Ergebnis der Addition) konvergiert sie nicht mehr gegen denselben Grenzwert, also nicht mehr gegen $\ln 2$