TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 7

Man untersuche die Folge $(a_n{)}_{n\ge 1}$auf Konvergenz und bestimmte gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $(b_n{)}_{n\ge 1}$, $(c_n{)}_{n\ge 1}$mit $b_n\le a_n\le c_n$finde.

(a) $a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2+n}$

(b) $a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$

Hilfreiches

Sandwich Theorem, Satz 4.22, Seite 161

Lösungsvorschlag von Bisco

(a)

$b_n=\frac{1}{n^2+n}+\frac{1}{n^2+n}+\frac{1}{n^2+n}+\mathrm{...}=\frac{n}{n^2+n}=\frac{1}{n+1}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n+1}=0$

$c_n=\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+\mathrm{...}=\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$

(b)

$b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\mathrm{...}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2\ast (1+\frac{1}{n})}}=\frac{n}{n\ast \sqrt{(1+\frac{1}{n})}}=\frac{1}{\sqrt{(1+\frac{1}{n})}}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{(1+\frac{1}{n})}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{(1+0)}}=1$

$c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\mathrm{...}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2\ast (1+\frac{1}{n^2})}}=\frac{n}{n\ast \sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1$