TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 8

Man finde eine explizite Darstellung für die Partialsummen der Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4}{n(n+1)}}$

und berechne damit - wenn möglich - die Summe.

(Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenzen passender Austrücke dar.)

Hilfreiches

Beispiel 4.38 auf Seite 150

vierte Auflage: Bsp. 4.38 auf S.165

Lösungsvorschlag von Bisco

$s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {4}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{n}{{\frac {4}{k}}-{\frac {4}{k+1}}}$

$={\biggl (}{\frac {4}{1}}-{\frac {4}{2}}{\biggr )}+{\biggl (}{\frac {4}{2}}-{\frac {4}{3}}{\biggr )}+{\biggl (}{\frac {4}{3}}-{\frac {4}{4}}{\biggr )}+...+{\biggl (}{\frac {4}{n-1}}-{\frac {4}{n}}{\biggr )}+{\biggl (}{\frac {4}{n}}-{\frac {4}{n+1}}{\biggr )}$

$=4-{\frac {4}{n+1}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4}{n(n+1)}}=\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }(4-{\frac {4}{n+1}})=4$ (Vorzeichen beim Limit ausgebessert am 19.10.2019 10:32)