TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 8

Man finde eine explizite Darstellung für die Partialsummen der Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{n(n+1)}$

und berechne damit - wenn möglich - die Summe.

(Hinweis: Man stelle die Summanden als Differenzen passender Austrücke dar.)

Hilfreiches

Beispiel 4.38 auf Seite 150

vierte Auflage: Bsp. 4.38 auf S.165

Lösungsvorschlag von Bisco

$s_n=\sum _{k=1}^n\frac{4}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n\frac{4}{k}-\frac{4}{k+1}$

$=(\frac{4}{1}-\frac{4}{2})+(\frac{4}{2}-\frac{4}{3})+(\frac{4}{3}-\frac{4}{4})+\mathrm{...}+(\frac{4}{n-1}-\frac{4}{n})+(\frac{4}{n}-\frac{4}{n+1})$

$=4-\frac{4}{n+1}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{n(n+1)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(4-\frac{4}{n+1})=4$ (Vorzeichen beim Limit ausgebessert am 19.10.2019 10:32)