TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 9

Mit Hilfe eines geeigneten Konvergenzkriteriums untersuche man die folgenden Reihen auf Konvergenz:

(a) $\frac{1}{2^1}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^5}+\mathrm{...}$

(b) $\frac{1}{11}+\frac{1}{101}+\frac{1}{1001}+\mathrm{....}$

(c) $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{1^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}-\frac{1}{\sqrt{3^2+2}}\pm \mathrm{...}$

Hilfreiches

Quotientenkriterium (4.52, Seite 154) (4. Auflage: Seite 169)

Lösungsvorschlag von Bisco

(a)

$\frac{\frac{2(n+1)+1}{2^{(2(n+1)+1)}}}{\frac{2n+1}{2^{(2n+1)}}}=\frac{\frac{2n+3}{2^{(2n+3)}}}{\frac{2n+1}{2^{(2n+1)}}}=\frac{(2n+3)\ast 2^{(2n+1)}}{(2n+1)\ast 2^{(2n+3)}}$

Edit Pfingstfrosch: hier hat sich ein Umrechungsfehler eingeschlichen. Laut symbolab gehts hier wie folgt weiter

$\frac{x^a}{x^b}=\frac{1}{x^{b-a}}$

$\frac{(2n+3)}{(2n+1)\ast 2^{(2n+3)-(2n+1)}}=\frac{2n+3}{(2n+1)\ast 2^2}=\frac{2n+3}{8n+4}$

$\frac{2n+3}{8n+4}\le q<1$

Das gilt für $n\ge 1$, damit ist die Reihe absolut konvergent.

(b)

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{10^n+1}$

$\frac{\frac{1}{10^{(}n+1)+1}}{\frac{1}{10^n+1}}=\frac{1\ast (10^n+1)}{(10^{n+1}+1)\ast 1)}=\frac{10^n+1}{10^{n+1}+1}=\frac{1+\frac{1}{10^n}}{10+\frac{1}{10^n}}$

$\frac{1+\frac{1}{10^n}}{10+\frac{1}{10^n}}\le q<1$für n > 1

(c)

$\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{1^2+2}},\frac{1}{\sqrt{2^2+2}},-\frac{1}{\sqrt{3^2+2}}\mathrm{...}$ ist eine alternierende Reihe: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\ast \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$

Leibnizkriterium: Ist $\sum _{n\ge 0}(-1{)}^n{a}_n$eine alternierende Reihe, sodass $a_n$monoton gegen 0 konvergiert, dann ist $\sum (-1{)}^n{a}_n$konvergent.

Der Nenner wird immer grösser, also konvergiert $a_n$gegen 0

Somit ist die Reihe nach Leibnizkriterium konvergent