TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 9

Mit Hilfe eines geeigneten Konvergenzkriteriums untersuche man die folgenden Reihen auf Konvergenz:

(a) ${\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+{\frac {5}{2^{5}}}+...$

(b) ${\frac {1}{11}}+{\frac {1}{101}}+{\frac {1}{1001}}+....$

(c) ${\frac {1}{\sqrt {2}}}-{\frac {1}{\sqrt {1^{2}+2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2^{2}+2}}}-{\frac {1}{\sqrt {3^{2}+2}}}\pm ...$

Hilfreiches

Quotientenkriterium (4.52, Seite 154) (4. Auflage: Seite 169)

Lösungsvorschlag von Bisco

(a)

${\frac {\frac {2(n+1)+1}{2^{(2(n+1)+1)}}}{\frac {2n+1}{2^{(2n+1)}}}}={\frac {\frac {2n+3}{2^{(2n+3)}}}{\frac {2n+1}{2^{(2n+1)}}}}={\frac {(2n+3)*2^{(2n+1)}}{(2n+1)*2^{(2n+3)}}}$

Edit Pfingstfrosch: hier hat sich ein Umrechungsfehler eingeschlichen. Laut symbolab gehts hier wie folgt weiter

${\frac {x^{a}}{x^{b}}}={\frac {1}{x^{b-a}}}$

${\frac {(2n+3)}{(2n+1)*2^{(2n+3)-(2n+1)}}}={\frac {2n+3}{(2n+1)*2^{2}}}={\frac {2n+3}{8n+4}}$

${\frac {2n+3}{8n+4}}\leq q<1$

Das gilt für $n\geq 1$, damit ist die Reihe absolut konvergent.

(b)

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}+1}}$

${\frac {\frac {1}{10^{(}n+1)+1}}{\frac {1}{10^{n}+1}}}={\frac {1*(10^{n}+1)}{(10^{n+1}+1)*1)}}={\frac {10^{n}+1}{10^{n+1}+1}}={\frac {1+{\frac {1}{10^{n}}}}{10+{\frac {1}{10^{n}}}}}$

${\frac {1+{\frac {1}{10^{n}}}}{10+{\frac {1}{10^{n}}}}}\leq q<1$für n > 1

(c)

${\frac {1}{\sqrt {2}}},-{\frac {1}{\sqrt {1^{2}+2}}},{\frac {1}{\sqrt {2^{2}+2}}},-{\frac {1}{\sqrt {3^{2}+2}}}...$ ist eine alternierende Reihe: $\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}*{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}}$

Leibnizkriterium: Ist $\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}a_{n}$eine alternierende Reihe, sodass $a_{n}$monoton gegen 0 konvergiert, dann ist $\sum (-1)^{n}a_{n}$konvergent.

Der Nenner wird immer grösser, also konvergiert $a_{n}$gegen 0

Somit ist die Reihe nach Leibnizkriterium konvergent