TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungstest 1 2013S Gittenberger

Übungstest 1 - SS13 (Gittenberger)

Beispiel 1

Untersuchen Sie mit Hilfe eines geeigneten Konvergenzkriteriums, für welche $x\in ℝ$ die Reihe

$\sum _{n\ge 0}\frac{n+1}{3^{2n+1}}{x}^n$

konvergiert. Beachten Sie auch jene Fälle, für die das von Ihnen gewählte Konvergenzkriterium zu keiner Aussage führt.

Beispiel 2

Man untersuche die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(c_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $b_n\le a_n\le c_n$ finde.

$a_n=\frac{n^{1/2}}{\sqrt{n^5+1}}+\frac{n^{1/2}}{\sqrt{n^5+2}}+\mathrm{...}+\frac{n^{1/2}}{\sqrt{n^5+n}}$

Beispiel 3

Geben Sie exakte Definitionen für folgende Begriffe:

a) Grenzwert einer Folge
b) Grenzwert einer Reihe
c) $a_n=O(b_n)$