TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungstest 1 2013S Gittenberger

Übungstest 1 - SS13 (Gittenberger)

Beispiel 1

Untersuchen Sie mit Hilfe eines geeigneten Konvergenzkriteriums, für welche $x\in \mathbb {R}$ die Reihe

$\sum _{n\geq 0}{\frac {n+1}{3^{2n+1}}}x^{n}$

konvergiert. Beachten Sie auch jene Fälle, für die das von Ihnen gewählte Konvergenzkriterium zu keiner Aussage führt.

Beispiel 2

Man untersuche die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$ finde.

$a_{n}={\frac {n^{1/2}}{\sqrt {n^{5}+1}}}+{\frac {n^{1/2}}{\sqrt {n^{5}+2}}}+...+{\frac {n^{1/2}}{\sqrt {n^{5}+n}}}$

Beispiel 3

Geben Sie exakte Definitionen für folgende Begriffe:

a) Grenzwert einer Folge
b) Grenzwert einer Reihe
c) $a_{n}=O(b_{n})$