TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungstest 3 2021W Gruppe3 - Lösung

Achtung, es handelt sich hierbei lediglich um einen Lösungsvorschlag. Die Lösungen sowie der jeweilige Rechenweg wurden nicht gegengeprüft! Gerne kannst du deinen eigenen Lösungsvorschlag hinzufügen. --Simplex - Alea iacta est. 14:24, 21. Jun. 2022 (CEST)

Bemerkung: Wie in der Übung gilt auch beim Test: Sie können Ergebnisse aus der Vorlesung sowie Tatsachen, die bereits in der Übung vorgekommen sind, ohne Beweis verwenden. Außerdem können Sie die folgenden beiden Aussagen benützen:

$$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$$

$$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{C}}=1{\text{ für }}C>0$$

Sie müssen in Ihrer Lösung aber dazuschreiben, dass Sie sich auf ein bereits vorgekommenes Ergebnis berufen. Falls Sie einen Satz aus der Vorlesung anwenden wollen, geben Sie auch an, wieso Sie den Satz einsetzen dürfen.

Aufgabe 1 (10 Punkte)

Sei die Funktion $f$ definiert durch

$$f(x)={\frac {x}{e^{2x^{2}+1}}}$$

Bestimmen Sie alle Extremstellen von $f$ sowie jeweils den Typ der Extremstellen (also lokales Maximum oder Minimum). Berechnen Sie außerdem $\lim _{x\to +\infty }f(x)$.

Bemerkung: Ihre Lösung sollte eine Begründung enthalten, wieso Sie mit Ihrer Lösungsmethode nicht nur gewisse Extremstellen sondern tatsächlich alle Extremstellen finden.

Lösungsvorschlag von Simplex - Alea iacta est.

Extremstellen kann man finden in dem die erste Ableitung ${\textstyle f'(x)=0}$ gesetzt wird. Anschließend formt man die erhaltene Gleichung auf $x$ um. Um herauszufinden ob es sich dabei um ein Maximum, Minimum oder gar eine Sattelstelle handelt muss man das/die erhaltene $x$ in die zweite Ableitung einsetzen. Es gilt dabei folgendes:

• $f''(x)>0:{\text{ Minimum}}$
• $f''(x)=0:{\text{ Sattelstelle}}$
• $f''(x)<0:{\text{ Maximum}}$

Nun muss aber erst mal (mittels Partieller Ableitung) abgeleitet werden:

$$f'(x)={\frac {x}{e^{2x^{2}+1}}}={\frac {e^{2x^{2}+1}-x\cdot e^{2x^{2}+1}\cdot 4x))}{(e^{2x^{2}+1})^{2}}}={\frac {{\cancel {e^{2x^{2}+1}}}\cdot (1-4x^{2})}{(e^{2x^{2}+1})^{\cancel {2}}}}={\frac {1-4x^{2}}{e^{2x^{2}+1}}}$$

Für die Extremstellen muss nun ${\textstyle f'(x)=0}$ gesetzt werden:

$$f'(x)=0$$

$${\frac {1-4x^{2}}{e^{2x^{2}+1}}}=0$$

$$1-4x^{2}=0$$

$$4x^{2}=1$$

$$x^{2}={\frac {1}{4}}$$

$$x=\pm {\sqrt {\frac {1}{4}}}=\pm {\frac {1}{2}}$$

Wir haben also zwei Extremstellen bei $x=\pm 1/2$. Um Herauszufinden, um welche Art von Extremstelle es sich hierbei handelt benötigen wir die zweite Ableitung:

$$f''(x)={\frac {-8x\cdot e^{2x^{2}+1}-(1-4x^{2})\cdot e^{2x^{2}+1}\cdot 4x}{e^{2x^{2}+1}}}={\frac {{\cancel {e^{2x^{2}+1}}}\cdot (-12x+16x^{3})}{(e^{2x^{2}+1})^{\cancel {2}}}}={\frac {-12x+16x^{3}}{e^{2x^{2}+1}}}$$

Nun müssen wir noch unsere beiden Nullstellen in ${\textstyle f''(x)}$ einsetzen und das Vorzeichen betrachten.

$$f''(1/2)={\frac {-12/2+16\cdot (1/2)^{3}}{e^{2(1/2)^{2}+1}}}={\frac {-4}{e^{3/2}}}$$

$$f''(1/2)={\frac {12/2-16\cdot (1/2)^{3}}{e^{2(1/2)^{2}+1}}}={\frac {4}{e^{3/2}}}$$

Wir sehen nun, dass wir an der Stelle $x=-1/2$ ein Minimum und an der Stelle $x=+1/2$ ein Maximum haben.

Nun muss noch $\lim _{x\to +\infty }f(x)$ berechnet werde:

$$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{2x^{2}+1}}}={\mathsf {''}}{\frac {\infty }{\infty }}{\mathsf {''}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{4x\cdot e^{2x^{2}+1}}}=+0$$

Aufgabe 2 (10 Punkte)

Untersuchen Sie mithilfe der Integralrechnung, ob die Reihe

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+1}{n^{2}+n+2}}$$

ob die Reihe konvergent oder divergent ist.

Hinweis zur Berechnung des Integrals: Substitution!

Lösungsvorschlag von Padraig

Wir überprüfen also das Integral $\int _{1}^{\infty }{\frac {2n+1}{n^{2}+n+2}}dn$. Man substituiere $u=n^{2}+n+2$, und folglich ${\frac {du}{dn}}=2n+1$, wodurch also $du=(2n+1)dn$ und ${\frac {du}{2n+1}}=dn$. Das können wir einsetzen, wodurch wir erhalten:

$\int {\frac {\cancel {2n+1}}{u}}\cdot {\frac {du}{\cancel {2n+1}}}$

$\int {\frac {1}{u}}du=ln|u|+c=ln|n^{2}+n+2|+c$

Schließlich bestimmen wir nun, ob das unbestimmte Integral konvergiert oder divergiert. Wir bestimmen:

$lim_{n\rightarrow \infty }ln|n^{2}+n+2|=\infty$

$lim_{n\rightarrow 1}ln|n^{2}+n+2|=ln|4|\approx 1.38$

Da $\infty -1.38=\infty$ ist das Integral divergent, wodurch durch das Integralkriterium ebenso die ursprüngliche Reihe divergent ist.