TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 304

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Man zeige, dass eine Menge bzgl. der Euklidischen Metrik offen ist genau dann, wenn offen ist bzgl. der Summen-Metrik .

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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Offene Menge
Offene Menge[Bearbeiten, Wikipedia, Definition 6.6]

Eine Menge heißt offen, wenn aus folgt, dass es eine Umgebung gibt mit .

Euklidische Distanzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst einmal schreiben wir die Angabe nochmal als Formel auf:

wobei von d2 abhängt und von d1.

Die Aussage kann man auch als anschreiben. (Also es existiert ein y in einer epsilon Umgebung). Wenn wir nun zeigen, dass und äquivalent sind, so sind auch die ursprünglichen Formeln äquivalent. Dazu formen wir beide Ausdrücke so um, dass sie ähnlich ausschauen:


Hier sieht man, dass die beiden Aussagen auf der linken Seite ident sind, aber auf der rechten etwas unterschiedlich. Wenn wir nun wählen sind sie ident.

--DerPizzabäcker 09:01, 12. Jun. 2019 (CEST)