TU Wien:Analysis VO (Dorfer)/Pruefung Dorfer 2018-03-02

Angabe

Aufgabe 1

Multiple Choice über Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Beschränktheit Falsch angekreuzte Antworten bringen Abzüge

Aufgabe 2

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung mit 4 Gliedern der Funktion $e^x\cos (x)$ mit Entwicklungsstelle $x_0=0$.

(a) mithilfe der Taylorentwicklung ohne Restglied

(b) Berechnen Sie das Cauchyprodukt der Reihe

Aufgabe 3

Relativen Extremwerte der Funktion $f(x,y)=2x^{2}y-x{y}^2-6xy$ berechnen.

Aufgabe 4

Löse die Differentialgleichung: $y^{\prime }-\frac{y}{x}=x\ln (x)$

Aufgabe 5

a.) Integralkriterium für Reihe $\sum _1^{\mathrm{\infty }}f(x)$ formulieren. Welche Voraussetzung muss die $f(x)$ erfüllen?

b.) $\sum _2^{n}f(x)\le {\int }_1^{n}f(x)\le \sum _1^{n-1}f(x)$

c.) Konvergenz der Reihe: $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}$ mit Hilfe des Integralkriteriums zeigen.

Lösung

Lösung 3

Partielle Ableitungen

$f_x(x,y)=4xy-y^2-6y$

$f_y(x,y)=2x^2-2xy-6x$

$f_{xx}(x,y)=4y$

$f_{xy}(x,y)=4x-2y-6$

$f_{yy}(x,y)=4x-2y-6$

$f_{yy}(x,y)=-2x$

Relative Extrema

$f_x(x,y)=4xy-y^2-6y$

$f_y(x,y)=2x^2-2xy-6x=0$

$f_y(x,y)\Rightarrow y=x-3$

$\Rightarrow 4x(x-3)-(x-3{)}^2-6(x-3)=0$

$\Rightarrow x^2-4x+3=0$

$x_{1,2}=\frac{4}{2}\pm \sqrt{(\frac{-4}{2}{)}^2-3}=2\pm 1$

$\Rightarrow x_1=3,x_2=1$

$E_1(3,0),E_2(1,-2)$

Charakterisierung der relativen Extrema

Hesse Matrix:

$H_f=\left(\begin{array}{cc}4y& 4x-2y-6\\ 4x-2y-6& -2x\end{array}\right)$

$E_1(3,0):$

$1.Hauptminore:det(0)=0$

$2.Hauptminore:det\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ 6& -6\end{array}\right)=-36$

$\Rightarrow indefinit\Rightarrow Sattelpunkt$

$E_2(1,-2):$

$1.Hauptminore:det(-8)=-8$

$2.Hauptminore:det\left(\begin{array}{cc}-8& 2\\ 2& -2\end{array}\right)=12$

$\Rightarrow negativdefinit\Rightarrow relativesMaximum$

Quellen

• Hauptminorenkriterium
• M. Drmota: Mathematik für Informatik 4. Auflage, Heldermann Verlag, 2014
  • Satz 3.85 Hauptminorenkriterium S. 147-148
  • Satz 6.34 Hesse-Matrix S. 147-148
• Funktion auf Wolfram Alpha

Lösung 4

$y^{\prime }-\frac{y}{x}=x\ln (x)$

Lösung der homogenen Gleichung

$y^{\prime }-\frac{y}{x}=0$

$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=0$

$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$

$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}$

$\ln |y|=\ln |x|+\ln C$

$\ln |y|=\ln |xC|$

$y_h(x)=Cx,C\in \mathbb{N}$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_p(x)=C(x)e^{-\int -\frac{1}{x}dx}=C(x)x$

$y{\text{'}}_p(x)=C^{\prime }(x)x+C(x)$

$C^{\prime }(x)x+C(x)-\frac{C(x)x}{x}=x\ln (x)$

$C^{\prime }(x)x=x\ln (x)$

$C^{\prime }(x)=\ln (x)$

$C(x)=\frac{1}{x}$ Fehler: hier muss auf beiden Seiten integriert werden, siehe Anmerkung (aichingm).

$y_p(x)=\frac{1}{x}x=1$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_h(x)+y_p(x)=Cx+1$

Anmerkung:

Lösung laut Korrektur des Professors:

$y_p(x)=x(\ln \left(x\right)-1)$

Anmerkung vylorpe: ich glaube hier wurde ein x vergessen: $y_p(x)=x\ast (x(\ln \left(x\right)-1))$

Das Integral von $ln(x)$ wurde in der obigen Lösung vergessen

$y=y_h(x)+y_p(x)=Cx+(x\ast ln(x)-x+c)\ast x$

Tomior (Diskussion)