TU Wien:Analysis VO (Dorfer)/Pruefung Dorfer 2018-03-02

Angabe

Aufgabe 1

Multiple Choice über Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Beschränktheit Falsch angekreuzte Antworten bringen Abzüge

Aufgabe 2

Man bestimme die Potenzreihenentwicklung mit 4 Gliedern der Funktion $e^{x}\cos(x)$ mit Entwicklungsstelle $x_{0}=0$.

(a) mithilfe der Taylorentwicklung ohne Restglied

(b) Berechnen Sie das Cauchyprodukt der Reihe

Aufgabe 3

Relativen Extremwerte der Funktion $f(x,y)=2x^{2}y-xy^{2}-6xy$ berechnen.

Aufgabe 4

Löse die Differentialgleichung: $y'-{\frac {y}{x}}=x\ln(x)$

Aufgabe 5

a.) Integralkriterium für Reihe $\sum _{1}^{\infty }f(x)$ formulieren. Welche Voraussetzung muss die $f(x)$ erfüllen?

b.) $\sum _{2}^{n}f(x)\leq \int _{1}^{n}f(x)\leq \sum _{1}^{n-1}f(x)$

c.) Konvergenz der Reihe: $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ mit Hilfe des Integralkriteriums zeigen.

Lösung

Lösung 3

Partielle Ableitungen

$f_{x}(x,y)=4xy-y^{2}-6y$

$f_{y}(x,y)=2x^{2}-2xy-6x$

$f_{xx}(x,y)=4y$

$f_{xy}(x,y)=4x-2y-6$

$f_{yy}(x,y)=4x-2y-6$

$f_{yy}(x,y)=-2x$

Relative Extrema

$f_{x}(x,y)=4xy-y^{2}-6y$

$f_{y}(x,y)=2x^{2}-2xy-6x=0$

$f_{y}(x,y)\Rightarrow y=x-3$

$\Rightarrow 4x(x-3)-(x-3)^{2}-6(x-3)=0$

$\Rightarrow x^{2}-4x+3=0$

$x_{1,2}={\frac {4}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {-4}{2}})^{2}-3}}=2\pm 1$

$\Rightarrow x_{1}=3,x_{2}=1$

$E_{1}(3,0),E_{2}(1,-2)$

Charakterisierung der relativen Extrema

Hesse Matrix:

$H_{f}={\begin{pmatrix}4y&4x-2y-6\\4x-2y-6&-2x\end{pmatrix}}$

$E_{1}(3,0):$

$1.Hauptminore:det(0)=0$

$2.Hauptminore:det{\begin{pmatrix}0&6\\6&-6\end{pmatrix}}=-36$

$\Rightarrow indefinit\Rightarrow Sattelpunkt$

$E_{2}(1,-2):$

$1.Hauptminore:det(-8)=-8$

$2.Hauptminore:det{\begin{pmatrix}-8&2\\2&-2\end{pmatrix}}=12$

$\Rightarrow negativ\ definit\Rightarrow relatives\ Maximum$

Quellen

• Hauptminorenkriterium
• M. Drmota: Mathematik für Informatik 4. Auflage, Heldermann Verlag, 2014
  • Satz 3.85 Hauptminorenkriterium S. 147-148
  • Satz 6.34 Hesse-Matrix S. 147-148
• Funktion auf Wolfram Alpha

Lösung 4

$y'-{\frac {y}{x}}=x\ln(x)$

Lösung der homogenen Gleichung

$y'-{\frac {y}{x}}=0$

${\frac {dy}{dx}}-{\frac {y}{x}}=0$

${\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{x}}$

$\int {\frac {dy}{y}}=\int {\frac {dx}{x}}$

$\ln |y|=\ln |x|+\ln C$

$\ln |y|=\ln |x\ C|$

$y_{h}(x)=C\,x,C\in \mathbb {N}$

Lösung der inhomogenen Gleichung

$y_{p}(x)=C(x)e^{-\int {-{\frac {1}{x}}dx}}=C(x)x$

$y'_{p}(x)=C'(x)x+C(x)$

$C'(x)x+C(x)-{\frac {C(x)x}{x}}=x\ln(x)$

$C'(x)x=x\ln(x)\,$

$C'(x)=\ln(x)\,$

$C(x)={\frac {1}{x}}\,$ Fehler: hier muss auf beiden Seiten integriert werden, siehe Anmerkung (aichingm).

$y_{p}(x)={\frac {1}{x}}\,x=1$

Lösung der Differentialgleichung

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)=Cx+1\,$

Anmerkung:

Lösung laut Korrektur des Professors:

$y_{p}(x)=x\left(\ln \left(x\right)-1\right)$

Anmerkung vylorpe: ich glaube hier wurde ein x vergessen: $y_{p}(x)=x*(x\left(\ln \left(x\right)-1\right))$

Das Integral von $ln(x)$ wurde in der obigen Lösung vergessen

$y=y_{h}(x)+y_{p}(x)=Cx+(x*ln(x)-x+c)*x$

Tomior (Diskussion)