TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2013-11-29

Aufgabe 1: Funktion, Potenzreihenentwicklung

$f(x)=e^{2x}+e^{-2x}-2$

Graphen zeichnen von $f(x)$ und deren Umkehrfunktion $f(x{)}^{-1}$ (Wo ist diese überhaupt definiert?). Potenzreihenentwicklung der Funktion angeben (unter Verwendung der Exponentialreihe von $e^x$) bei $x_0=0$

Lösungsvorschlag

Skizze via WolframAlpha:

Berechnen der Umkehrfunktion scheint hier nicht gefragt zu sein, und da ich das zieml. schwer finde, würde ich in diesem Fall einfach die Spiegelung an der y=x-Achse als Lösungsweg heranziehen.

Definitionsbereich offensichtlich 0 bis $\mathrm{\infty }$

Exponentialreihe:

$e^x=\sum _{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}$

Daraus folgt:

$e^{2x}+e^{-2x}-2=\sum _{n\ge 0}\frac{(2x{)}^n}{n!}+\sum _{n\ge 0}\frac{(-2x{)}^n}{n!}-2=$

$\frac{1}{1}+\cancel{\frac{2x}{1!}}+\frac{4x^2}{2!}+\cancel{\frac{8x^3}{3!}}+\frac{16x^4}{4!}+\cancel{\frac{32x^5}{5!}}+\mathrm{...}$

$\frac{1}{1}-\cancel{\frac{2x}{1!}}+\frac{4x^2}{2!}-\cancel{\frac{8x^3}{3!}}+\frac{16x^4}{4!}-\cancel{\frac{32x^5}{5!}}+\mathrm{...}-2=$

$2\sum _{n\ge 0}\frac{2^{2n}{x}^{2n}}{(2n)!}-2=2\sum _{n\ge 0}\frac{(2x{)}^{2n}}{(2n)!}-2$

Edit: Es gilt: $cosh(x)=\frac{1}{2}\ast (e^x+e^{-x})$
Damit kann man das Gesamtergebnis noch vereinfachen auf $2\ast cosh(2x)-2$

Aufgabe 2: Funktion

$f(x)=\frac{3}{2e^2}-x{e}^x$

Zeigen, dass die Funktion im Intervall $I=[-2,0]$ konkav ist. Außerdem die Fläche unter der Funktion ausrechnen (von -2 bis 0).

Aufgabe 3: Differentialgleichung

Differentialgleichung 1. Ordnung lösen:

$x{y}^{\prime }+y=3x^2-2$

Wie lautet die partikuläre Lösung mit der Anfangsbedingung $y(1)=4$?

Aufgabe 4: Theorie

Differentialrechnung in mehreren Variablen: Definieren der 3 Begriffe mit je einem Beispiel.

• Partielle Ableitungen
• Richtungsableitung
• Gradient

Aufgabe 5: Theorie

Theoriefragen zum ankreuzen (keine, eine oder mehrere richtige Antworten möglich).

1. Für eine Folge $a_n$ gilt:

   • $\mathrm{\forall }\epsilon >0:\mathrm{\forall }N(\epsilon )\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }n>N(\epsilon ):|a_n-a|<\epsilon$
   • $\mathrm{\forall }\epsilon >0:\mathrm{\exists }N(\epsilon )\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }n>N(\epsilon ):|a_n-a|<\epsilon$
   • $\mathrm{\exists }\epsilon >0:\mathrm{\forall }N(\epsilon )\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }n>N(\epsilon ):|a_n-a|<\epsilon$

2. Die Folge $a_n=\mathrm{...}$ ist... (?? Die Folge fällt mir im Moment nicht ein. Irgendwas mit einem x unter dem Bruch...)

   • monoton
   • beschränkt
   • konvergent

3. Die Folge $a_n=(-1{)}^{n+1}$ ist...

   • monoton
   • beschränkt
   • konvergent

4. Ist die Reihe $\sum a_n$ konvergent, dann auch die Folge $a_n$

   • Ja
   • Nein

5. ... (Ich glaube eine Frage fehlt noch?!)

Kommentar

Habe ich etwas falsch wiedergegeben, einfach ausbessern. Und wem das fehlende Zeugs noch einfällt, einfach hinschrieben! :-) --Filzstift (Diskussion) 14:44, 30. Nov. 2013 (CET)

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