TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2014-03-07

Beispiel 1

Man berechne ${\sqrt {14}}$ mit Hilfe des "Babylonischen Wurzelziehens" gemäß

$x_{n+1}=\psi (x_{a})={\frac {1}{2}}(x_{a}+{\frac {a}{x_{a}}}),n\geq 0$

(zur Bestimmung von ${\sqrt {a}}$) auf vier Nachkommastellen genau. Wie kann man die verwendete Iterationsfolge auf graphischem Weg erhalten? Machen Sie eine Skizze.

Beispiel 2

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet man etwa zur Beschreibung der Dauer von Telefongesprächen, die täglich in einer Telefonzentrale registriert werden, die so genannte Exponentialverteilung mit der Dichtefunktion $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ für $x\geq 0$ (mit dem Parameter $\lambda >0$). Skizzieren Sie die Funktion $f(x)$, zeigen Sie, dass die Fläche unter der Dichtekurve genau 1 beträgt, und berechnen Sie den Erwartungswert $\mu =\int _{0}^{\infty }x\,f(x)\,dx$.

Beispiel 3

Man berechne die Ableitung von $f(x,y)=x^{2}+5y^{2}+100$ im Punkt $P_{0}(3,2)$

• (a) in Richtung der Koordinatenachen,
• (b) in Richtung des Vektors $(-1,-1)$ sowie
• (c) in Richtung von grad f.

Beispiel 4

Asymptotischer Vergleich von Folgen:

• Man erkläre die Symbole $a_{n}=O(b_{n}),a_{n}=o(b_{n})$ und $a_{n}~b_{n}$ (Definition und je ein Beispiel).
• Man zeige, dass $a_{n}=O(1)\Leftrightarrow (a_{n})$ beschränkt sowie $a_{n}=o(1)\Leftrightarrow (a_{n})$ Nullfolge gilt.

Beispiel 5

Gegeben sei die Differentialgleichung

$y'-{\frac {1-x}{x}}y=4x^{2}$.

Beantworten Sie dazu die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein):

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

1 Diese Gleichung ist eine

	gewöhnliche Differentialgleichung,
	partielle Differentialgleichung,
	lineare Differentialgleichung.

2 Die allgemeine Lösung obiger Differentialgleichung ist gegeben durch die Summe + der allgemeinen Lösung der homogenen und einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung. - einer partikulären Lösung der homogenen und einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung.

{Die allgemeine Lösung der Gleichung kann als zwei-parametrige Kurvenschar interpretiert werden

	Ja
	Nein

3 Die allgemeine Lösung der Gleichung kann mit Hilfe der Lösungen der zugehörigen charakteristichen Gleichung bestimmt werden.

	Ja
	Nein

4 Die Funktion $4(x^{2}-x)$ stellt eine partikuläre Lösung der gegebenen Gleichung dar.

	Ja
	Nein

5 Wie viele verschiedene partikuläre Lösungen besitzt diese Gleichung?

	Keine
	1
	2
	mehr als 2

6 Zur Bestimmung einer partikulären Lösung der Gleichung kann die Methode der "Variation der Konstanten" angewendet werden.

	Ja
	Nein

7 Zur Bestimmung einer partikulären Lösung der Gleichung kann die Methode der "Trennung der Variablen" angewendet werden.

	Ja
	Nein