TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2017-06-30

1. Aufgabe: Ableitungen berechnen, Ausdruck für n-te Ableitung angeben und beweisen

Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion f(x), gebe einen Ausdruck für die n-te Ableitung an, und beweise diesen mittels vollständiger Induktion.

$f(x)={\frac {2x}{(x-5)^{2}}}$

Anmerkung: Laut Informatik-Forum

$f(x)={\frac {2x}{(x-5)}}$

https://web.archive.org/web/*/informatik-forum.at/showthread.php?115086-Karigl-Aftertest-30-06-17&p=845866&viewfull=1#post845866

2. Aufgabe: Bestimmtes Integral

Man berechne das bestimmte Integral mittels Partialbruchzerlegung.

$\int _{-2}^{0}{\frac {2}{x^{2}-3x+2}}dx$

3. Aufgabe: Differentialgleichung

Man berechne die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung.

Erklären Sie hierbei die Verfahren "Trennung der Variablen" und "Variation der Konstanten".

$y{'}-ytan(x)=1$

4. Aufgabe: Konvergenz von Reihen (Theorie)

3 Theoriefragen zu Konvergenz von Reihen.

• Erklären Sie den Unterschied zwischen bedingter und absoluter Konvergenz von unendlichen Reihen.
• Geben Sie je ein Beispiel für eine bedingt konvergente Reihe, absolut konvergente Reihe und divergente Reihe.
• Geben Sie je ein Beispiel für eine notwendige und eine hinreichende Bedingung für Konvergenz von Reihen.

5. Aufgabe: Mehrdimensionale Analysis - Extremstellen

Theoriefragen (zum Ankreuzen) über Extremstellen einer gegebenen Funktion $f(x,y)$ von $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ (mehrdimensionale Analysis).

Zusätzlich zur Funktion selbst waren drei stationäre Stützpunkte $P1(0,0)$, $P2(3,0)$ und $P3(-1,0)$, die fertige partielle Ableitung $f_{yy}$, und eine Funktion zur Berechnung der Determinante der Hesse-Matrix gegeben.

Frage (Antwortmöglichkeit 1 / Antwortmöglichkeit 2 / ...)

• Ist $gradf({\vec {0}})$ eine notwendige oder hinreichende Bedingung für eine Extremstelle? (notwendig / hinreichend / notwendig und hinreichend)
• Was ist der stationäre Stützpunkt P1? (lokales Minimum / lokales Maximum / Sattelpunkt)
• Was ist der stationäre Stützpunkt P2? (lokales Minimum / lokales Maximum / Sattelpunkt)
• Was ist der stationäre Stützpunkt P3? (lokales Minimum / lokales Maximum / Sattelpunkt)
• Für ein lokales Minimum muss die Hesse-Matrix eines stationäres Stützpunkts wie sein? (positiv definit / negativ definit / indefinit)
• Ist der Rand des Definitionsbereichs $D$ von $f$ ein globales Minimum oder Maximum? (ja / nein)

Tipp: Hierzu passt sehr gut das Youtube-Video "Mehrdimensionale Analysis, Art der Extremstellen mit Determinante, Hessematrix" von Mathe by Daniel Jung (man musste einfach für jeden Stützpunkt jeweils $f_{yy}$ und die Determinante ausrechnen, dann die Fallunterscheidung wie im Video machen)

HINWEIS Kommentar CheckDasRipperl: eine Frage von Aufgabe 5 fällt mir nicht mehr ein, und bei Aufgabe 4 war eventuell auch noch eine vierte Frage zu Konvergenz von Reihen --> falls die jemand weiß eintragen und das Kommentar hier löschen, danke!