TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-01-29

Aufgabe 1 - Taylor-Approximation

Approximieren Sie die Funktion $f(x)=16+4(2x+1)^{5/2}$ mit Hilfe des Taylor'schen Satzes durch eine Polynomfunktion dritten Grades im Punkt $x_{0}=0$. Geben Sie auch das Restglied $R_{3}(x)$ an.

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Lösungsvorschlag

$f'(x)=20(2x+1)^{3/2}$

$f''(x)=60(2x+1)^{1/2}$

$f'''(x)=60(2x+1)^{-1/2}$

$f^{(4)}(x)=-60(2x+1)^{-3/2}$

${\textstyle f(x)=20+20x+{\frac {60}{2}}x^{2}+{\frac {60}{3!}}x^{3}+R_{3}(x)}$

${\textstyle f(x)=20+20x+30x^{2}+10x^{3}+R_{3}(x)}$

$R_{3}(x)={\frac {f^{(4)}(\xi )}{4!}}x^{4}={\frac {-60(2\xi +1)^{-3/2}}{4!}}x^{4}={\frac {-5}{2{\sqrt {(2\xi +1)^{3}}}}}x^{4}$

Aufgabe 2 - Mittelwertsatz der Integralrechnung

Skizze + Berechnung der Funktion anhand des Mittelwertsatzes der Integralrechnung, gegeben durch

$i(t)={\begin{cases}12,&0\leq t\leq 4\\12e^{-t+4},&4\leq t\leq 8\end{cases}}$

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Lösungsvorschlag

${\begin{aligned}{\bar {i}}&={\frac {1}{8-0}}\int _{0}^{8}i(t)\,dt\\&={\frac {1}{8}}\left(\int _{0}^{4}12\,dt+\int _{4}^{8}12e^{-t+4}\,dt\right)\\&={\frac {1}{8}}\left(12t{\bigg \vert }_{0}^{4}+(-12e^{-t+4}){\bigg \vert }_{4}^{8}\right)\\&={\frac {3}{2}}\left(t{\bigg \vert }_{0}^{4}+(-e^{-t+4}){\bigg \vert }_{4}^{8}\right)\\&={\frac {3}{2}}\left(4+(-e^{-4}+e^{0})\right)={\frac {3}{2}}\left(4-{\frac {1}{e^{4}}}+1\right)={\frac {15}{2}}-{\frac {3}{2e^{4}}}\end{aligned}}$

Aufgabe 3

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung $y'+y\cos x=\sin x\cos x$ zur Anfangsbedingung $y(0)=0$.

Lösungsvorschlag

$y_{h}(x)=Ce^{-\int a(x)dx}=Ce^{-\int \cos xdx}=Ce^{-\sin x}$

$y_{p}(x)=C(x)e^{-\sin x}$

${\begin{aligned}C(x)&=\int s(x)e^{\int a(x)dx}dx=\int \sin x\cos x\,e^{\sin x}dx\\&=_{\text{subst}}\int z\cos xe^{z}{\frac {dz}{\cos x}}=\int ze^{z}dz=_{\text{part}}e^{z}z-\int e^{z}dz\\&=e^{z}z-e^{z}=e^{\sin x}\sin x-e^{\sin x}\end{aligned}}$

$y_{p}(x)=C(x)e^{-\sin x}=(e^{\sin x}\sin x-e^{\sin x})e^{-\sin x}=\sin x-1$

$y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=Ce^{-\sin x}+\sin x-1$

$y(0)=Ce^{0}+\sin 0-1=C-1=0\Rightarrow C=1$

$y(x)=e^{-\sin x}+\sin x-1$

Aufgabe 4

• Formulieren Sie den Hauptsatz über implizite Funktionen und skizzieren Sie die Herleitung der Ableitung einer impliziten Funktion mit Hilfe der Kettenregel.

• Geben Sie ein (konkretes Beispiel zur Ableitung einer impliziten Funktion an.

Aufgabe 5 - MC zu Folgen

Gegeben sei die Folge
$(a_{n})_{n\geq 1}$ mit $(a_{n})={\frac {n+(-1)^{n}}{5n}}$

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

1 Die Folge ($a_{n}$) besitzt die unteren Schranken

	-1
	0
	0,2
	0,375
	1

2 Die Folge ($a_{n}$) besitzt das Infimum

	-1
	0
	0,2
	0,375
	1

3 Die Folge ($a_{n}$) besitzt das Supremum

	-1
	0
	0,2
	0,375
	1

4 Die Folge ($a_{n}$) ist monoton und beschränkt

	ja
	nein

5 Häufungswerte der Folge ($a_{n}$) sind

	-1
	0
	0,2
	0,375
	1

6 Grenzwerte der Folge ($a_{n}$) sind

	-1
	0
	0,2
	0,375
	1

7 Jede monotone und beschränkte Folge besitzt einen Grenzwert

	ja
	nein

8 Jede monotone und beschränkte Folge besitzt einen Häufungswert

	ja
	nein

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