TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-01-29

Aufgabe 1 - Taylor-Approximation

Approximieren Sie die Funktion $f(x)=16+4(2x+1{)}^{5/2}$ mit Hilfe des Taylor'schen Satzes durch eine Polynomfunktion dritten Grades im Punkt $x_0=0$. Geben Sie auch das Restglied $R_3(x)$ an.

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Lösungsvorschlag

$f^{\prime }(x)=20(2x+1{)}^{3/2}$

$f^{″}(x)=60(2x+1{)}^{1/2}$

$f^{‴}(x)=60(2x+1{)}^{-1/2}$

$f^{(4)}(x)=-60(2x+1{)}^{-3/2}$

$f(x)=20+20x+\frac{60}{2}{x}^2+\frac{60}{3!}{x}^3+R_3(x)$

$f(x)=20+20x+30x^2+10x^3+R_3(x)$

$R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}{x}^4=\frac{-60(2\xi +1{)}^{-3/2}}{4!}{x}^4=\frac{-5}{2\sqrt{(2\xi +1{)}^3}}{x}^4$

Aufgabe 2 - Mittelwertsatz der Integralrechnung

Skizze + Berechnung der Funktion anhand des Mittelwertsatzes der Integralrechnung, gegeben durch

$i(t)=\{\begin{array}{cc}12,& 0\le t\le 4\\ 12e^{-t+4},& 4\le t\le 8\end{array}$

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Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}\overline{i}& =\frac{1}{8-0}{\int }_0^{8}i(t)dt\\ & =\frac{1}{8}({\int }_0^{4}12dt+{\int }_4^{8}12e^{-t+4}dt)\\ & =\frac{1}{8}(12t{|}_0^4+(-12e^{-t+4}){|}_4^8)\\ & =\frac{3}{2}(t{|}_0^4+(-e^{-t+4}){|}_4^8)\\ & =\frac{3}{2}(4+(-e^{-4}+e^0))=\frac{3}{2}(4-\frac{1}{e^4}+1)=\frac{15}{2}-\frac{3}{2e^4}\end{array}$

Aufgabe 3

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung $y^{\prime }+y\cos x=\sin x\cos x$ zur Anfangsbedingung $y(0)=0$.

Lösungsvorschlag

$y_h(x)=C{e}^{-\int a(x)dx}=C{e}^{-\int \cos xdx}=C{e}^{-\sin x}$

$y_p(x)=C(x)e^{-\sin x}$

$\begin{array}{cc}C(x)& =\int s(x)e^{\int a(x)dx}dx=\int \sin x\cos x{e}^{\sin x}dx\\ & {=}_{\text{subst}}\int z\cos x{e}^z\frac{dz}{\cos x}=\int z{e}^{z}dz{=}_{\text{part}}{e}^{z}z-\int e^{z}dz\\ & =e^{z}z-e^z=e^{\sin x}\sin x-e^{\sin x}\end{array}$

$y_p(x)=C(x)e^{-\sin x}=(e^{\sin x}\sin x-e^{\sin x})e^{-\sin x}=\sin x-1$

$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C{e}^{-\sin x}+\sin x-1$

$y(0)=C{e}^0+\sin 0-1=C-1=0\Rightarrow C=1$

$y(x)=e^{-\sin x}+\sin x-1$

Aufgabe 4

• Formulieren Sie den Hauptsatz über implizite Funktionen und skizzieren Sie die Herleitung der Ableitung einer impliziten Funktion mit Hilfe der Kettenregel.

• Geben Sie ein (konkretes Beispiel zur Ableitung einer impliziten Funktion an.

Aufgabe 5 - MC zu Folgen

Gegeben sei die Folge
$(a_n{)}_{n\ge 1}$ mit $(a_n)=\frac{n+(-1{)}^n}{5n}$

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

1

Die Folge ($a_n$) besitzt die unteren Schranken

	-1
	0
	0,2
	0,375
	1

2

Die Folge ($a_n$) besitzt das Infimum

	-1
	0
	0,2
	0,375
	1

3

Die Folge ($a_n$) besitzt das Supremum

	-1
	0
	0,2
	0,375
	1

4

Die Folge ($a_n$) ist monoton und beschränkt

	ja
	nein

5

Häufungswerte der Folge ($a_n$) sind

	-1
	0
	0,2
	0,375
	1

6

Grenzwerte der Folge ($a_n$) sind

	-1
	0
	0,2
	0,375
	1

7

Jede monotone und beschränkte Folge besitzt einen Grenzwert

	ja
	nein

8

Jede monotone und beschränkte Folge besitzt einen Häufungswert

	ja
	nein

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