TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-03-01

Aufgabe 1

Man finde eine explizite Darstellung für die Partialsummen der Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{6}{n(n+1)}$

und berechne damit - wenn möglich - die Summe.

(Hinweis: Führen Sie für die Summanden eine Partialbruchzerlegung durch.)

Aufgabe 2

Man berechne eine Stammfunktion zur Funktion $f(x)=\frac{5lnx-3}{x^2}$. Ferner untersuche man damit die Konvergenz des umeigentlichen Integrals ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$ und bestimme gegebenenfalls dessen Wert.

(Hinweis: Zum Integrieren erweist sich die Substitution $u=lnx$ als nützlich.)

Aufgabe 3

Gesucht sind alle lokalen Extrema und alle Sattelpunkte der Funktion

$f(x,y)=2y^3+3x^2-6xy-3y^2$

auf $\mathrm{I}\mathrm{R}\times \mathrm{I}\mathrm{R}$.

Aufgabe 4

Stetigkeit und Differenzierbarkeit reellwertiger Funktionen:

• Wann heißt eine Funktion $f:D\to \mathrm{I}\mathrm{R}$ (mit $D\subseteq \mathrm{I}\mathrm{R}$) stetig auf D, wann heißt sie differenzierter auf D?
• Geben Sie je ein Beispiel für eine (i) nicht stetige, (ii) stetige aber nicht differenzierbare sowie (iii) differenzierbar Funktion an.
• Nennen Sie zwei Eigenschaften (Sätze) für stetige Funktionen.

Aufgabe 5

Gegeben sei die Differentialgleichung

$y^{\prime }-\frac{1-x}{x}y=4x^2$.

Beantworten Sie dazu die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein):

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

1

Diese Gleichung ist eine

	gewöhnliche Differentialgleichung
	partielle Differentialgleichung
	lineare Differentialgleichung.

2

Die allgemeine Lösung obiger Differentialgleichung ist gegeben durch die Summe

	der allgemeinen Lösung der homogenen und einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung.
	einer partikulären Lösung der homogenen und einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung.

3

Die allgemeine Lösung der Gleichung kann als zwei-parametrige Kurvenschar interpretiert werden.

	Ja
	Nein

4

Die Funktion $4x{e}^{-x}$ stellt eine partikuläre Lösung der gegebenen Gleichung dar.

	Ja
	Nein

5

Die Funktion $4x(x-1)$ stellt eine partikuläre Lösung der gegebenen Gleichung dar.

	Ja
	Nein

6

Wie viele verschiedene partikuläre Lösungen besitzt diese Gleichung?

	keine
	1
	2
	mehr als 2

7

Zur Bestimmung einer partikulären Lösung der Gleichung kann die Methode der "Variation der Konstanten" angewendet werden.

	Ja
	Nein

8

Zur bestimmung einer partikulären Lösung der Gleichung kann die Methode der "Trennung der Variablen" angewendet werden.

	Ja
	Nein