TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-04-26

Aufgabe 1

Wie ist der Parameter t (mit $t\neq 2$) zu wählen, damit die Funktion

$f(x)={\frac {x^{2}+t}{x-t}},x\in \mathbb {R} ,x\neq t$

in einer Umgebung der Stelle $x_{0}=2$ streng monoton wachsend ist?

Geben Sie auch die Gleichung der Tangente an der Stelle $x_{0}=2$ (in Abhängigkeit von t) an.

Aufgabe 2

Gegeben sei ein periodischer Strom $i(t)=4i_{0}t(1-t),0\leq t\leq 1$ mit der Periode T = 1.

Man skizziere die Funktion i(t) und berechne den Effektivwert $I_{\text{eff}}$ der Stromstärke i(t) durch Mittelung der zur Leistung proportionalen Größe $i^{2}(t)$über eine Periode T, d.h.

$I_{\text{eff}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}i^{2}(t)\,dt}}$

Aufgabe 3

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

$y'={\frac {2y-1}{x}}$

mit der Methode der Trennung der Variablen.

Aufgabe 4

Differentialrechnung von Funktionen in mehreren Variablen: Man erkläre (möglichst knapp) nachstehende Begriffe und gebe zu jedem Begriff ein konkretes Beispiel an.

• Definition und geometrische Interpretation der partiellen Ableitung
• Richtungsableitung
• Kettenregel
• Ableitung einer implizierten Funktion

Aufgabe 5

Theorie über Folgen und Reihen zum Ankreuzen

• Eine Zahl a heißt Grenzwert der Folge (an), falls: <richtige Definition ankreuzen>
• Die Folge $a_{n}=1/(n+4)^{2}$ ist: monoton / beschränkt / konvergent
• Die Folge $a_{n}=4(-1)^{n+1}$ ist: monoton / beschränkt / konvergent
• Jede konvergente Folge ist beschränkt: ja / nein
• Jede (nach oben und nach unten) beschränkte Folge ist konvergent: ja / nein
• Die Folge $a_{n}=(1+1/n)^{n}$ konvergiert gegen: 0 / 1 / 2 / e / $\infty$
• Ist die Folge $(a_{n})$ konvergent, dann konvergiert auch die Reihe $\sum a_{n}$ : ja / nein
• Ist die Reihe $\sum a_{n}$ konvergent, dann konvergiert auch die Folge $(a_{n})$ : ja / nein