TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-04-26

Aufgabe 1

Wie ist der Parameter t (mit $t\ne 2$) zu wählen, damit die Funktion

$f(x)=\frac{x^2+t}{x-t},x\in ℝ,x\ne t$

in einer Umgebung der Stelle $x_0=2$ streng monoton wachsend ist?

Geben Sie auch die Gleichung der Tangente an der Stelle $x_0=2$ (in Abhängigkeit von t) an.

Aufgabe 2

Gegeben sei ein periodischer Strom $i(t)=4i_{0}t(1-t),0\le t\le 1$ mit der Periode T = 1.

Man skizziere die Funktion i(t) und berechne den Effektivwert $I_{\text{eff}}$ der Stromstärke i(t) durch Mittelung der zur Leistung proportionalen Größe $i^2(t)$über eine Periode T, d.h.

$I_{\text{eff}}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{i}^2(t)dt}$

Aufgabe 3

Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

$y^{\prime }=\frac{2y-1}{x}$

mit der Methode der Trennung der Variablen.

Aufgabe 4

Differentialrechnung von Funktionen in mehreren Variablen: Man erkläre (möglichst knapp) nachstehende Begriffe und gebe zu jedem Begriff ein konkretes Beispiel an.

• Definition und geometrische Interpretation der partiellen Ableitung
• Richtungsableitung
• Kettenregel
• Ableitung einer implizierten Funktion

Aufgabe 5

Theorie über Folgen und Reihen zum Ankreuzen

• Eine Zahl a heißt Grenzwert der Folge (an), falls: <richtige Definition ankreuzen>
• Die Folge $a_n=1/(n+4{)}^2$ ist: monoton / beschränkt / konvergent
• Die Folge $a_n=4(-1{)}^{n+1}$ ist: monoton / beschränkt / konvergent
• Jede konvergente Folge ist beschränkt: ja / nein
• Jede (nach oben und nach unten) beschränkte Folge ist konvergent: ja / nein
• Die Folge $a_n=(1+1/n{)}^n$ konvergiert gegen: 0 / 1 / 2 / e / $\mathrm{\infty }$
• Ist die Folge $(a_n)$ konvergent, dann konvergiert auch die Reihe $\sum a_n$ : ja / nein
• Ist die Reihe $\sum a_n$ konvergent, dann konvergiert auch die Folge $(a_n)$ : ja / nein