TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-10-11

Danke an daldam_27.

Aufgabe 1 - Zeichnen, Grenzwert, Monotonie, Nullstellensatz

$f(x)=(x-3)e^{-x/5}+1$

Funktion skizzieren, Konvergenz (n -> 0, n -> +/- unendlich) untersuchen, Monotonie untersuchen und den Nullstellensatz anwenden

Aufgabe 2 - Uneigentliches Integral

${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\cdot \sqrt{x-1}}dx$

Lösungsvorschlag

Man substituiert $u=\sqrt{x-1}$. Dann löse man $u=\sqrt{x-1}$ für x und bekommt $x=u^2+1$. $u^{\prime }=\frac{1}{2\ast \sqrt{x-1}}=\frac{1}{2u}$. Dann bekommt man $2\int \frac{1}{u^2+1}du$, was Arctan ist.

$2\arctan (\sqrt{x-1}){|}_1^{\mathrm{\infty }}=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}\arctan (\sqrt{a-1})-0=2\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}\arctan (a)=2\frac{\pi }{2}=\pi$

Aufgabe 3 - Taylor

Taylor 2. Ordnung für eine $f(x,y)=x{y}^2\cdot \cos (2\pi x+1)$

Aufgabe 4 - Theorie: Differentialrechnung

• Definiere den Differentialquotienten
• Interpretiere f'(x) (geometrisch, physikalisch oder wirtschaftlich)
• Gib 3 Beispiele für elementare Funktionen und gib deren Ableitung an
• Mithilfe der Ableitung der Umkehrfunktion soll die Ableitung von ln(x) hergeleitet werden

Aufgabe 5 - Theorie: Folgen und Reihen

Konvergenz von Folgen und Reihen.

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

1

Eine Zahl a heißt Häufungswert der Folge ($a_n$), falls gilt

	$\mathrm{\exists }\epsilon >0:|a_n-a|<\epsilon$ für alle n
	$\mathrm{\forall }\epsilon >0:|a_n-a|<\epsilon$ für fast alle n
	$\mathrm{\forall }\epsilon >0:|a_n-a|<\epsilon$ für unendlich viele n

2

Jeder Häufungswert a einer Folge ($a_n$) ist auch Grenzwert dieser Folge

	ja
	nein

3

Jeder Grenzwert a einer Folge ($a_n$) ist auch Häufungswert dieser Folge

	ja
	nein

4

Die Monotonie einer Folge ($a_n$) ist für ihre Konvergenz

	notwendig
	hinreichend

5

Die Beschränktheit einer Folge ($a_n$) ist für ihre Konvergenz

	notwendig
	hinreichend

6

Eine unendliche Reihe $\sum a_n$ ist konvergent, wenn die

	Folge($a_n$) konvergent ist
	Partialsummenfolge ($s_n$) konvergent ist
	Folge ($a_n$) eine Nullfolge ist

7

Die geometrische Reihe Reihe $\sum a_0{q}^n$ (mit $a_0\ne 0$) ist konvergent für

	$q<-1$
	$q=-1$
	$-1<q<0$
	$q=0$
	$0<q<1$
	$q=1$
	$q>1$

8

Die Reihe $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\mathrm{...}$ ist

	konvergent
	absolut konvergent
	bedingt konvergent
	divergent