TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-10-11

Danke an daldam_27.

Aufgabe 1 - Zeichnen, Grenzwert, Monotonie, Nullstellensatz

$f(x)=(x-3)e^{-x/5}+1$

Funktion skizzieren, Konvergenz (n -> 0, n -> +/- unendlich) untersuchen, Monotonie untersuchen und den Nullstellensatz anwenden

Aufgabe 2 - Uneigentliches Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x\cdot {\sqrt {x-1}}}}dx$

Lösungsvorschlag

Man substituiert $u={\sqrt {x-1}}$. Dann löse man $u={\sqrt {x-1}}$ für x und bekommt $x=u^{2}+1$. $u'={\frac {1}{2*{\sqrt {x-1}}}}={\frac {1}{2u}}$. Dann bekommt man $2\int {\frac {1}{u^{2}+1}}du$, was Arctan ist.

$2\arctan({\sqrt {x-1}})|_{1}^{\infty }=\lim _{a\to \infty }\arctan({\sqrt {a-1}})-0=2\lim _{a\to \infty }\arctan(a)=2{\tfrac {\pi }{2}}=\pi$

Aufgabe 3 - Taylor

Taylor 2. Ordnung für eine $f(x,y)=xy^{2}\cdot \cos(2\pi x+1)$

Aufgabe 4 - Theorie: Differentialrechnung

• Definiere den Differentialquotienten
• Interpretiere f'(x) (geometrisch, physikalisch oder wirtschaftlich)
• Gib 3 Beispiele für elementare Funktionen und gib deren Ableitung an
• Mithilfe der Ableitung der Umkehrfunktion soll die Ableitung von ln(x) hergeleitet werden

Aufgabe 5 - Theorie: Folgen und Reihen

Konvergenz von Folgen und Reihen.

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

1 Eine Zahl a heißt Häufungswert der Folge ($a_{n}$), falls gilt

	$\exists \varepsilon >0:|a_{n}-a|<\varepsilon$ für alle n
	$\forall \varepsilon >0:|a_{n}-a|<\varepsilon$ für fast alle n
	$\forall \varepsilon >0:|a_{n}-a|<\varepsilon$ für unendlich viele n

2 Jeder Häufungswert a einer Folge ($a_{n}$) ist auch Grenzwert dieser Folge

	ja
	nein

3 Jeder Grenzwert a einer Folge ($a_{n}$) ist auch Häufungswert dieser Folge

	ja
	nein

4 Die Monotonie einer Folge ($a_{n}$) ist für ihre Konvergenz

	notwendig
	hinreichend

5 Die Beschränktheit einer Folge ($a_{n}$) ist für ihre Konvergenz

	notwendig
	hinreichend

6 Eine unendliche Reihe $\sum a_{n}$ ist konvergent, wenn die

	Folge($a_{n}$) konvergent ist
	Partialsummenfolge ($s_{n}$) konvergent ist
	Folge ($a_{n}$) eine Nullfolge ist

7 Die geometrische Reihe Reihe $\sum a_{0}q^{n}$ (mit $a_{0}\neq 0$) ist konvergent für

	$q<-1$
	$q=-1$
	$-1<q<0$
	$q=0$
	$0<q<1$
	$q=1$
	$q>1$

8 Die Reihe $1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+...$ ist

	konvergent
	absolut konvergent
	bedingt konvergent
	divergent