TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-11-29

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass die Potenzreihe für $|x|<\frac{1}{9}$ konvergiert und für $|x|>\frac{1}{9}$ divergiert. Zeigen Sie außerdem wie sich die Reihe bei $x=\pm \frac{1}{9}$ verhält.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3^{2n}{x}^n}{n^2}$

Lösungsvorschlag

Zunächst vereinfachen wir den Term:

$\frac{3^{2n}{x}^n}{n^2}=\frac{9^n{x}^n}{n^2}=\frac{(9x{)}^n}{n^2}$

Wir wissen, dass die hyperharmonische Reihe $\sum _{n=1}\frac{1}{n^2}$ konvergiert. Aufgrund des Majorantenkriteriums, konvergiert unsere Reihe, wenn für fast alle n:

$\begin{array}{cc}\left|\frac{(9x{)}^n}{n^2}\right|& \le \frac{1}{n^2}\\ \frac{(9|x|{)}^n}{n^2}& \le \frac{1}{n^2}\\ (9|x|{)}^n& \le 1\\ 9|x|& \le 1\\ |x|& \le \frac{1}{9}\\ \end{array}$

Nun müssen wir noch die Divergenz bei |x| > 1/9 zeigen.

$|x|=\frac{1}{9}+a,a>0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(9(\frac{1}{9}+a){)}^n}{n^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(9a{)}^n}{n^2}=\mathrm{\infty }$

Bei |x| > 1/9 divergiert die Reihe also wegen dem Nullfolgenkriterium.

Aufgabe 2

Zeige mittels Differenzieren, dass Folgendes für alle $|x|<1$

$\arcsin (x)+2\arctan \left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)=\frac{\pi }{2}$

Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{2}{1+\frac{1-x}{1+x}}\left(\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\right)=0\\ & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{2+2x}{2}\frac{(\sqrt{1-x}{)}^{\prime }\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}(\sqrt{1+x}{)}^{\prime }}{1+x}=0\\ & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+(1+x)\frac{-\frac{\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-x}}-\frac{\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1+x}}}{1+x}=0\\ & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{-\sqrt{1+x}\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}}=0\\ & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{-(1+x)-(1-x)}{2\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}}=0\\ & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{-2}{2\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}(1+x)}=0\\ & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}(1+x)}=0\\ & \frac{(1+x)-1}{\sqrt{1-x^2}(1+x)}=0\\ & x=0\end{array}$

Die Lösung erfüllt die Bedingung $|x|<1$, also setzen wir in die ursprüngliche Funktion ein:

$\begin{array}{cc}& \arcsin (0)+2\arctan (1)=\frac{\pi }{2}\\ & 0+2\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}\\ \end{array}$

Aufgabe 3 - Differentialgleichung

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung zur Anfangsbedingung $y(1)=0$.

$x{y}^{\prime }-y=3x^2+2$

Aufgabe 4 - uneigentliche Integrale

Theorie uneigentliches Integral 1. und 2. Art definieren + Skizze + Beispiele

Aufgabe 5 - MC zu alternierenden Reihe

Gegeben sei eine (differenzierbare) Funktion $f:D\to ℝ,D\subseteq {ℝ}^2$ durch $z=f(x,y)$.

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

1

Der Graph der Funktion $f$ ist

	ein Intervall in $ℝ$
	eine Kurve im ${ℝ}^2$
	eine Fläche im${ℝ}^3$

2

Wieviele partielle Ableitungen zweiter Ordnung besitzt die Funktion $f$ im Allgemeinen?

	1
	2
	4
	8
	$\mathrm{\infty }$

3

Die totale Differenzierbarkeit von $f$ ist für die Existenz ihrer partiellen Ableitungen

	notwendig
	hinreichend

4

Die Richtungsableitung von $f$

	beschreibt, in welcher Richtung sich $f$ am stärksten ändert
	gibt den größten Funktionswert von $f$ an
	ist ein Sonderfall der partiellen Ableitung

5

Der Gradient $gradf$ gibt die Richtung des größten Anstiegs von $f$ an

	Ja
	Nein

6

Der Betrag $\Vert grad$ $f\Vert$ gibt den Wert des größten Anstiegs von $f$ an

	Ja
	Nein

7

Der Gradient $grad$ $f$ ist in jedem Punkt von $D$ in Bezug auf die Tangentialebene ein

	Richtungsvektor
	Normalvektor

8

Der Gradient $grad$ $f$ verschwindet im Allgemeinen ___ an jenen Stellen, an denen die Funktion $f$ ein relatives Extremum besitzt.

	genau
	zumindest
	höchstens