TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-11-29

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass die Potenzreihe für $|x|<{\tfrac {1}{9}}$ konvergiert und für $|x|>{\tfrac {1}{9}}$ divergiert. Zeigen Sie außerdem wie sich die Reihe bei $x=\pm {\tfrac {1}{9}}$ verhält.

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{2n}x^{n}}{n^{2}}}$

Lösungsvorschlag

Zunächst vereinfachen wir den Term:

${\frac {3^{2n}x^{n}}{n^{2}}}={\frac {9^{n}x^{n}}{n^{2}}}={\frac {(9x)^{n}}{n^{2}}}$

Wir wissen, dass die hyperharmonische Reihe $\sum _{n=1}{\frac {1}{n^{2}}}$ konvergiert. Aufgrund des Majorantenkriteriums, konvergiert unsere Reihe, wenn für fast alle n:

${\begin{aligned}\left|{\frac {(9x)^{n}}{n^{2}}}\right|&\leq {\frac {1}{n^{2}}}\\{\frac {(9|x|)^{n}}{n^{2}}}&\leq {\frac {1}{n^{2}}}\\(9|x|)^{n}&\leq 1\\9|x|&\leq 1\\|x|&\leq {\tfrac {1}{9}}\\\end{aligned}}$

Nun müssen wir noch die Divergenz bei |x| > 1/9 zeigen.

$|x|={\tfrac {1}{9}}+a,\quad a>0$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {(9({\tfrac {1}{9}}+a))^{n}}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(9a)^{n}}{n^{2}}}=\infty$

Bei |x| > 1/9 divergiert die Reihe also wegen dem Nullfolgenkriterium.

Aufgabe 2

Zeige mittels Differenzieren, dass Folgendes für alle $|x|<1$

$\arcsin(x)+2\arctan \left({\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right)={\frac {\pi }{2}}$

Lösungsvorschlag

$|x|<1$