TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2019-11-29

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Aufgabe 1[edit]

Zeigen Sie, dass die Potenzreihe für konvergiert und für divergiert. Zeigen Sie außerdem wie sich die Reihe bei verhält.

Lösungsvorschlag Zunächst vereinfachen wir den Term:

Wir wissen, dass die hyperharmonische Reihe konvergiert. Aufgrund des Majorantenkriteriums, konvergiert unsere Reihe, wenn für fast alle n:

Nun müssen wir noch die Divergenz bei |x| > 1/9 zeigen.

Bei |x| > 1/9 divergiert die Reihe also wegen dem Nullfolgenkriterium.

Aufgabe 2[edit]

Zeige mittels Differenzieren, dass Folgendes für alle

Lösungsvorschlag

Die Lösung erfüllt die Bedingung , also setzen wir in die ursprüngliche Funktion ein:

Aufgabe 3 - Differentialgleichung[edit]

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung zur Anfangsbedingung .

Aufgabe 4 - uneigentliche Integrale[edit]

Theorie uneigentliches Integral 1. und 2. Art definieren + Skizze + Beispiele

Aufgabe 5 - MC zu alternierenden Reihe[edit]

Gegeben sei eine (differenzierbare) Funktion durch .

  

1 Der Graph der Funktion ist

ein Intervall in
eine Kurve im
eine Fläche im

2 Wieviele partielle Ableitungen zweiter Ordnung besitzt die Funktion im Allgemeinen?

1
2
4
8

3 Die totale Differenzierbarkeit von ist für die Existenz ihrer partiellen Ableitungen

notwendig
hinreichend

4 Die Richtungsableitung von

beschreibt, in welcher Richtung sich am stärksten ändert
gibt den größten Funktionswert von an
ist ein Sonderfall der partiellen Ableitung

5 Der Gradient gibt die Richtung des größten Anstiegs von an

Ja
Nein

6 Der Betrag gibt den Wert des größten Anstiegs von an

Ja
Nein

7 Der Gradient ist in jedem Punkt von in Bezug auf die Tangentialebene ein

Richtungsvektor
Normalvektor

8 Der Gradient verschwindet im Allgemeinen ___ an jenen Stellen, an denen die Funktion ein relatives Extremum besitzt.

genau
zumindest
höchstens