TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2020-01-31

Aufgabe 1 - Taylor

Gegeben sei die rationale Funktion

$f(x)={\frac {(3x+2)}{(x-1)}},\quad x\in \mathbb {R} ,x\neq 1$

Man berechne die ersten vier Ableitungen von $f(x)$ und gebe allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung von $f(x)$ an. Daraus bestimme man schließlich die Taylorreihe für $f(x)$ im Entwicklungspunkt $x_{0}=0$. Für welche x ist die Reihe konvergent?

Lösungsvorschlag

Zuerst berechnen wir die 4 Ableitungen:

$f'(x)={\frac {3(x-1)-(3x+2)}{(x-1)^{2}}}=-{\frac {2}{(x-1)^{2}}}$

$f''(x)=-2(x-1)^{-2}{df' \over dx}={\frac {4}{(x-1)^{3}}}$

$f'''(x)=-{\frac {12}{(x-1)^{4}}}$

$f^{IV}(x)=-{\frac {48}{(x-1)^{5}}}$

Als nächstes vergleichen wir die Ableitungen im eine Folge mit der n-ten Ableitung zu definieren.:

$f_{n}=(-1)^{n+1}{\frac {2n!}{(x-1)^{n+1}}}$

Jetzt setzen wir die Folge einfach in die Taylorreihe ein. Anschließend kürzen wir einpaar Sachen.

$T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}{\frac {2*k!}{(x_{0}-1)^{n+1}}}}{k!}}(x-x_{0})^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {2k!}{k!}}(x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}2(x)^{k}$ für $x_{0}=0$

Jetzt berechnen wir den Konvergenzradius R.

${\frac {1}{R}}=\lim _{n\to \infty }\left\vert {\frac {a_{n}+1}{a_{n}}}\right\vert ={\frac {2}{2}}=1$

... somit ist $R=1$und die Reihe ist stetig für $x\in (-1,1)$

Zum Schluss müssen wir noch den Rand des offenen Intervalls prüfen.

$x=1:\sum _{k=1}^{\infty }2*1=\infty$

$x=-1:\sum _{k=1}^{\infty }(-1)*2=-\infty$

Somit ist die Reihe nicht für $x\in \{1,-1\}$aber für $x\in (-1,1)$ konvergent.

ACHTUNG: Bei der ersten Ableitung hat sich ein Fehler eingeschlichen, der sich durchs ganze Beispiel zieht. (Anmerkung: Da ist leider auch noch einiges anderes falsch...)

Aufgabe 2 - bestimmtes Integral

Für die Funktion $\int _{0}^{1}4xe^{-2x}dx$ berechne man den Inhalt des vom Funktionsgraphen und der x-Achse im ersten Quadranten eingeschlossenen Flächenstücks.

Aufgabe 3 - Extrema & Sattelpunkte bestimmen

Gesucht sind alle stationären Punkte der Funktion

$f(x,y)=e^{x}(x^{2}+y^{2}-5x+7)$

An welchen Stellen befinden sich relative Extrema, an welchen Sattelpunkte?

Aufgabe 4 - Mittelwertsätze

Mittelwertsätze der Differentialrechnung und Integralrechnung:

• Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Formulierung, Zeichnung
• Mittelwertsatz der Integralrechnung: Formulierung, Zeichnung
• Ferner berechne man den Mittelwert einer Funktion $f(x)$ auf einem Intervall [a,b] gemäß dem Mittelwertsatz der Integralrechnung für ein selbst gewähltes konkretes Beispiel.

Aufgabe 5 - MC zu alternierenden Reihe

Die Potenzreihe $\sum _{n=0}(-1)^{n}{\frac {x^{n}}{n^{3}+1}}$ besitzt den Konvergenzradius R = 1

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

1 Die Reihe konvergiert für

	$x=-1$
	$x=0$
	$x=0,375$

2 Die Reihe divergiert für

	$x=-1,25$
	$x=-1$
	$x=1$

3 Die Potenzreihe besitzt den Entwicklungspunkt

	$x_{0}=-1$
	$x_{0}=0$
	$x_{0}=1$

4 Zutreffendes bitte ankreuzen:

	Zur Überprüfung der Konvergenz der Reihe eignet sich das Konvergenzkriterium von Cauchy.
	Zur Überprüfung der Konvergenz der Reihe eignet sich das Wurzelkriterium.
	Zur Überprüfung der Konvergenz der Reihe eignet sich die Regel von de l'Hospital.
	Ist die Reihe an der Stelle $x=x_{1}$ konvergent, dann auch für $x=x_{1}/2$.

5 Jede absolut konvergente unendliche Reihe ist auch

	bedingt konvergent
	konvergent