TU Wien:Analysis VO (Karigl)/Prüfung 2020-03-06

Aufgabe 1 - Folge

$an={\frac {(2n^{2}+10)}{(n^{2}+1)}},n>=0$

a) Berechne die ersten 5 Folgeglieder.

$a0={\frac {(2*0^{2}+10)}{(0^{2}+1)}}=10$

$a1={\frac {(2*1^{2}+10)}{(1^{2}+1)}}={\frac {12}{2}}=6$

$a2={\frac {(2*2^{2}+10)}{(2^{2}+1)}}={\frac {18}{5}}=3,6$

$a3={\frac {(2*3^{2}+10)}{(3^{2}+1)}}={\frac {28}{10}}=2,8$

$a4={\frac {(2*4^{2}+10)}{(4^{2}+1)}}={\frac {42}{17}}=2,47$

b) Untersuche die Folge auf Monotonie

$an+1<=an$

c) Untersuche die Folge auf untere/obere Schranke

Supremum: 10

Infimum: 2

d) Konvergiert die Folge und wieso bzw. wieso divergiert die Folge. Falls ja, rechne den Grenzwert aus.

Konvergiert gegen 2, weil monoton fallende beschränkte Folge, Limes-Berechnung mit Herausheben der höchsten Potenz

Aufgabe 2 - Bestimmtes Integral & Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung durchführen, A und B berechnen, anschließend bestimmtes Integral berechnen

$\int \limits _{3}^{5}{\frac {3}{x^{2}-3x+2}}$

Lösung: Nenner war mit kleiner Lösungsformel auszurechnen, 2 reelle Nullstellen. $3={\frac {A}{(x-1)}}+{\frac {B}{(x-2)}}$

Aufgabe 3 - Differentialrechnung

Berechne folgende inhom. Differentialgleichung:

$y'-ytanx=1$

Aufgabe 4 - Theorie zum Differenzieren

Definition, notwendige/hinreichende Kriterien, Bsp und Skizzen zu folgenden Punkten:

• Monotonie
• Extremwerte
• Konvexität
• Wendepunkte

Aufgabe 5 - MC zu Kurvendiskussion in mehreren Variablen

f(x,y) war gegeben, welche der MC-Fragen treffen zu. Als Hinweis war fyy und die Determinante D gegeben.
$f(x,y)=e^{x}*(x^{3}-5x^{2}+7x+y^{2}-7)$

• Für das Aufsuchen von lokalen Extrema von f ist die Bedingung gradf=0: notwendig, hinreichend, notwendig und hinreichend
• Im stationären Punkt von f gilt: f=0, fx=fy=0, fxx=fyy=fxy=0
• Gegebene P (-1,0) (0,0) (3,0) ist lokales Minimum, lokales Maximum oder Sattelpunkt
• In einem lokalen Minimum von f ist die Hesse-Matrix: positiv definit, negativ definit oder indefinit
• Ein lokales Extremum ist immer auch ein globales Extremum: Ja/Nein
• Ein globales Extremum liegt stets am Rand des vorgegebenen Definitionsbereichs von f: Ja/Nein

Wahrscheinliche Lösungen (ist noch zu überprüfen)

• grad f=0 notwendig
• fx=fy=0
• P(0,0) Sattelpunkt (Hf indefinit), P(3,0) lokales Minimum (Hf positiv definit), P(-1,0) lokales Minimum (Hf positiv definit)
• Hessematrix muss bei lokalen Minimum positiv definit sein (indefinit wäre Sattel, negativ definit Maximum)
• Lokales Extremum ist auch globales Extremum: Nein (Globales gibt es nur eines)
• Globale Extrema treten nur am Rand des D auf: Nein (können, aber kein Muss)