Quelle: Datei:TU Wien-Analysis VO (Panholzer) - Analysis 2012 07 03 panholzer.pdf
Unter Zuhilfenahme von in der Vorlesung kennen gelernten Konvergenzkriterien untersuche man die folgenden Reihen auf Konvergenz und gebe eine begründete Antwort, ob Konvergenz vorliegt oder nicht.
Hinweis: für Aufgabe (b) ist das Integralkriterium von Nutzen!
Mit Hilfe der Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren bestimme man die lokalen Extrema der Funktion
auf der Kugeloberfläche einer Kugel mit Mittelpunkt
und
, also unter der Nebenbedingung
.
Man bestimme die Lösung
der linearen Differentialgleichung
, welche
erfüllt.
Man gebe eine präzise Definition des Begriffes einer "Stammfunktion"
einer gegebenen Funktion
.
Man formuliere den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
An der Stelle
gelte für die Funktion
, dass
und
. Was besitzt dann die Funktion
an der Stelle
?
Für die Ableitung einer differenzierbaren reellen Funktion
gelte, dass
, für alle
. Was gilt dann für die Funktion
selbst?
Quotientenkriterium:
Limesform:
Konvergent, da
Alternativ: Wurzelkriterium
unter Verwendung der Stirlingformel zur Approximation
Limesform:
Konvergent, da
Integralkriterium (check ob integrierbar auf vorgegebenem Intervall):
Integration durch Substitution:
Da das Integral endlich ist, ist die Reihe gemäß des Integralkriteriums konvergent.
Lagrangefunktion bestimmen:
Gradient der Lagrangefunktion null setzen:
In diesem Fall lassen sich die ersten drei Gleichungen nach den jeweiligen Variablen umstellen, sodass sie in weiterer Folge in die letzte Gleichung eingesetzt werden können.
Eingesetzt in
ergibt das:
Daraus lassen sich die Werte
ganz einfach errechnen, indem in die ersten drei Gleichungen für
eingesetzt wird:
Dies ergibt folgende Punkte:
Inhomogene, lineare Differentialgleichung erster Ordnung der Form:
Lösung gegeben durch:
Somit gilt:
1) Bestimmung der allgemeinen Lösung
Eingesetzt:
2) Bestimmung der partikulären Lösung
3) Bestimmung der Gesamtlösung
1) Lösung der homogenen Gleichung durch "Trennung der Variablen":
Somit lautet die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
2) Bestimmung der partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung durch "Variation der Konstanten":
Bildung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produktregel:
Eingesetzt in die inhomogene Gleichung kann
berechnet werden:
Somit lautet die partikuläre Lösung:
3) Bestimmung der Gesamtlösung
Die Lösung der Differentialgleichung soll laut Angabe folgendes erfüllen:
Einsetzen in die Lösung der Differentialgleichung und
bestimmen:
Lösung des Anfangswertproblems:
Buch Seite 221: Definition 5.38
Buch Seite 231: Satz 5.55
Buch Seite 214: Satz 5.25
f(x) ist eine konstante Funktion, also eine zur x-Achse parallele Gerade.