TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2013-05-08

Angabe

Quelle: Datei:TU Wien-Analysis VO (Panholzer) - Prüfung 08-05-2013.pdf

Beispiel 1

Gegeben ist die reelle Folge $(a_{n})_{n\geq 1}$ mit $a_{n}={\frac {n^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {4n^{3}+n}}}$.

Man zeige Konvergenz und Grenzwert mittels $b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$. Man benenne und formuliere das Kriterium.

Beispiel 2

Gegeben bivariate reelle Funktion $f(x,y)=x^{2}+3y^{2}+e^{xy}$.

Aufgabe a

Man gebe die Gleichung der Tangentialebene (= lineare Approximation) $T(x,y)$ von $f$ im Punkt $(x_{0},y_{0})=(0,1)$ an.

Aufgabe b

Man bestimme alle Punkte $(x,y)$ an denen $f$ eine horizontale Tangentialebene besitzt (= stationärer Punkt).

Beispiel 3

Man bestimme die Lösung der Differentialgleichung $f''(x)={\frac {1}{2}}f'(x)+{\frac {1}{2}}f(x)+3e^{x}$.

$f(0)=1;\quad f'(0)=3$

Beispiel 4

Aufgabe a

Definition Häufungspunkt

Aufgabe b

Definition Grenzwert

Aufgabe c

Wann sind zwei Folgen asymptotisch gleich?

Aufgabe d

• $c_{n}=o\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)$

• ${\frac {1}{n}}=o(c_{n})$

• $c_{n}=\;?$

Lösungsvorschläge

Beispiel 1

Vereinfachen

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {n^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {4n^{3}+n}}}\\a_{n}&={\frac {\sqrt {n}}{\sqrt {n(4n^{2}+1)}}}\\a_{n}&={\frac {\cancel {\sqrt {n}}}{{\cancel {\sqrt {n}}}{\sqrt {4n^{2}+1}}}}\\a_{n}&={\frac {1}{\sqrt {4n^{2}+1}}}\\\end{aligned}}$

Größere Folge bestimmen

${\textstyle (c_{n})_{n\geq 1}}$ mit $c_{n}={\frac {1}{\sqrt {4n^{2}}}}={\frac {1}{2n}}$

Kleinere Folge bestimmen

$(b_{n})_{n\geq 1}$ mit $b_{n}={\frac {1}{\sqrt {9n^{2}}}}={\frac {1}{3n}}$

Grenzwerte bestimmen

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=0$

da ${\textstyle b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}}$ folgt daraus

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

Formulierung und Benennung

Sandwich-Theorem:

Seien ${\textstyle b_{n}}$ und $c_{n}$ zwei konvergente Folgen für die gilt

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=a$

Sei ${\textstyle a_{n}}$ eine Folge für die gilt

$b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}$

dann folgt daraus

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$

Beispiel 2

Aufgabe a

$f(x,y)=x^{2}+3y^{2}+e^{xy}$ mit $x_{0}=0,y_{0}=1$

Ableitungen bilden:

${\begin{aligned}f_{x}(x,y)&=2x+ye^{xy}\\f_{y}(x,y)&=6y+xe^{xy}\end{aligned}}$

In Ableitungen einsetzen:

${\begin{aligned}f_{x}(0,1)&=2\cdot 0+1\cdot e^{0\cdot 1}=1\\f_{y}(0,1)&=6\cdot 1+0\cdot e^{0\cdot 1}=6\end{aligned}}$

In originale Funktion einsetzen:

$f(0,1)=0^{2}+3\cdot 1^{2}+e^{0\cdot 1}=3+1=4$

Alle Werte in Formel einsetzen:

${\begin{aligned}z&=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})\cdot (x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})\cdot (y-y_{0})\\z&=4+1(x-0)+6(y-1)\\z&=4+x+6y-6\\z&=x+6y-2\end{aligned}}$

Beispiel 3

Umformung

${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&={\frac {1}{2}}f^{\prime }(x)+{\frac {1}{2}}f(x)+3e^{x}\\y^{\prime \prime }&={\frac {1}{2}}y^{\prime }+{\frac {1}{2}}y+3e^{x}\\y^{\prime \prime }-{\frac {1}{2}}y^{\prime }-{\frac {1}{2}}y&=3e^{x}\\\end{aligned}}$

Bestimmung der allgemeinen Lösung

Störfunktion null setzen:

$y^{\prime \prime }-{\frac {1}{2}}y^{\prime }-{\frac {1}{2}}y=0$

Lösung durch Exponentialansatz:

$y_{h}(x)=e^{\lambda x},\ y_{h}^{\prime }(x)=\lambda e^{\lambda x},\ y_{h}^{\prime \prime }(x)=\lambda ^{2}e^{\lambda x}$

Einsetzen:

${\begin{aligned}\lambda ^{2}e^{\lambda x}-{\frac {1}{2}}\lambda e^{\lambda x}-{\frac {1}{2}}e^{\lambda x}&=0&&|:e^{\lambda x}\\\end{aligned}}$

Charakteristische Gleichung:

$\lambda ^{2}-{\frac {1}{2}}\lambda -{\frac {1}{2}}=0$

Nach $\lambda$ lösen:

${\begin{aligned}\lambda _{1,2}&={\frac {1}{4}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{2}}}}\\\lambda _{1,2}&={\frac {1}{4}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{16}}+{\frac {8}{16}}}}\\\lambda _{1,2}&={\frac {1}{4}}\pm {\sqrt {\frac {9}{16}}}\\\lambda _{1,2}&={\frac {1}{4}}\pm {\frac {3}{4}}\\\end{aligned}}$

$\lambda _{1}=1,\ \lambda _{2}=-{\frac {1}{2}}$

Da $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ und reell, lautet die allgemeine Lösung:

$y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-{\frac {1}{2}}x}$ mit $C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

Bestimmung der partikulären Lösung

Ansatz anhand der Störfunktion $3e^{x}$ wählen:

Achtung: wäre laut Tabelle $y_{p}(x)=Ae^{x}$ ist jedoch falsch, weil es hierbei zu einem Resonanzfall kommt, da der Ansatz $(Ae^{x})$ in der Lösung der homogenen Gleichung bereits enthalten ist $(C_{1}e^{x})$. Um die lineare Unabhängigkeit zu gewährleisten, muss der Ansatz also noch mit $x$ multipliziert werden. (Das muss so lange wiederholt werden bis der Ansatz nicht mehr in der Lösung der homogenen Gleichung vorkommt.)

$y_{p}(x)=Ae^{x}x$

Ableitungen bilden:

${\begin{aligned}y_{p}^{\prime }(x)&=Ae^{x}+xAe^{x}&&=Ae^{x}(1+x)\\y_{p}^{\prime \prime }(x)&=Ae^{x}+Ae^{x}+xAe^{x}&&=Ae^{x}(2+x)\\\end{aligned}}$

Einsetzen in inhomogene Gleichung:

${\begin{aligned}y^{\prime \prime }-{\frac {1}{2}}y^{\prime }-{\frac {1}{2}}y&=3e^{x}\\Ae^{x}(2+x)-{\frac {1}{2}}Ae^{x}(1+x)-{\frac {1}{2}}Ae^{x}x&=3e^{x}&&|:e^{x}\\A(2+x)-{\frac {1}{2}}A(1+x)-{\frac {1}{2}}Ax&=3\\2A+{\cancel {Ax}}-{\frac {1}{2}}A{\cancel {-{\frac {1}{2}}Ax}}{\cancel {-{\frac {1}{2}}Ax}}&=3\\2A-{\frac {1}{2}}A&=3\\{\frac {3}{2}}A&=3\\3A&=6\\A&=2\end{aligned}}$

Die partikuläre Lösung lautet somit:

$y_{p}(x)=x2e^{x}$

Bestimmung der Gesamtlösung

$y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)$

$y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-{\frac {1}{2}}x}+x2e^{x}$

Lösung des Anfangswertproblems

$f(0)=1,\ f^{\prime }(0)=3$

Einsetzen in Lösung der Differentialgleichung:

${\begin{aligned}1&=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{-{\frac {1}{2}}\cdot 0}+0\cdot 2e^{0}\\1&=C_{1}+C_{2}\end{aligned}}$

Einsetzen in die erste Ableitung der Lösung der Differentialgleichung:

${\begin{aligned}y^{\prime }(x)&=C_{1}e^{x}-{\frac {1}{2}}C_{2}e^{-{\frac {1}{2}}x}+2e^{x}+x2e^{x}\\3&=C_{1}e^{0}-{\frac {1}{2}}C_{2}e^{-{\frac {1}{2}}\cdot 0}+2e^{0}+0\cdot 2e^{0}\\3&=C_{1}-{\frac {1}{2}}C_{2}+2&&|-2\\1&=C_{1}-{\frac {1}{2}}C_{2}&&|+{\frac {1}{2}}C_{2}\\C_{1}&=1+{\frac {1}{2}}C_{2}\\\end{aligned}}$

$C_{1}$ in oberer Gleichung einsetzen:

${\begin{aligned}1&=C_{1}+C_{2}\\1&=1+{\frac {1}{2}}C_{2}+C_{2}\\1&=1+{\frac {3}{2}}C_{2}\\\end{aligned}}$

Daraus folgt:

$C_{1}=1,\ C_{2}=0$

Die Lösung der Differentialgleichung lautet somit:

$y(x)=e^{x}+x2e^{x}$

Beispiel 4

Aufgabe a

Wenn in jeder $\varepsilon$-Umgebung von $a$ unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist $a$ ein Häufungspunkt von $(a_{n})_{n\geq 0}$.

Aufgabe b

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\varepsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h. falls

$\forall \varepsilon >0\ \ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} \ \ \forall n>N(\varepsilon ):|a_{n}-a|<\varepsilon$

gilt.

Aufgabe c

Zwei Folgen sind asymptotisch gleich $(a_{n}\sim b_{n})$wenn gilt:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1$

Aufgabe d

$c_{n}=o{\Biggl (}{\frac {1}{\sqrt {n}}}{\Biggr )}\Rightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {c_{n}}{n^{-{\frac {1}{2}}}}}=0$

${\frac {1}{n}}=o(c_{n})\Rightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{-1}}{c_{n}}}=0$

$n^{-{\frac {1}{2}}}>c_{n}>n^{-1}$

Falls eine bestimmte Lösung für $c_{n}$ angegeben werden soll eignet sich z.B.:

$c_{n}=n^{-{\frac {3}{4}}}$

Kann ggf. wie folgt auf Richtigkeit geprüft werden:

$n^{-{\frac {3}{4}}}=o{\Biggl (}{\frac {1}{\sqrt {n}}}{\Biggr )}\Rightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{-{\frac {3}{4}}}}{n^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{-{\frac {3}{4}}}}{n^{-{\frac {2}{4}}}}}=\lim _{n\to \infty }n^{-{\frac {5}{4}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n^{5}}}}=0$

${\frac {1}{n}}=o(n^{-{\frac {3}{4}}})\Rightarrow \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{-1}}{n^{-{\frac {3}{4}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{-{\frac {4}{4}}}}{n^{-{\frac {3}{4}}}}}=\lim _{n\to \infty }n^{-{\frac {7}{4}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n^{7}}}}=0$