TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2013-05-08

Angabe

Quelle: Datei:TU Wien-Analysis VO (Panholzer) - Prüfung 08-05-2013.pdf

Beispiel 1

Gegeben ist die reelle Folge $(a_n{)}_{n\ge 1}$ mit $a_n=\frac{n^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{4n^3+n}}$.

Man zeige Konvergenz und Grenzwert mittels $b_n\le a_n\le c_n$. Man benenne und formuliere das Kriterium.

Beispiel 2

Gegeben bivariate reelle Funktion $f(x,y)=x^2+3y^2+e^{xy}$.

Aufgabe a

Man gebe die Gleichung der Tangentialebene (= lineare Approximation) $T(x,y)$ von $f$ im Punkt $(x_0,y_0)=(0,1)$ an.

Aufgabe b

Man bestimme alle Punkte $(x,y)$ an denen $f$ eine horizontale Tangentialebene besitzt (= stationärer Punkt).

Beispiel 3

Man bestimme die Lösung der Differentialgleichung $f^{″}(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{2}f(x)+3e^x$.

$f(0)=1;f^{\prime }(0)=3$

Beispiel 4

Aufgabe a

Definition Häufungspunkt

Aufgabe b

Definition Grenzwert

Aufgabe c

Wann sind zwei Folgen asymptotisch gleich?

Aufgabe d

• $c_n=o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$

• $\frac{1}{n}=o(c_n)$

• $c_n=?$

Lösungsvorschläge

Beispiel 1

Vereinfachen

$\begin{array}{cc}{a}_n& =\frac{n^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{4n^3+n}}\\ a_n& =\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n(4n^2+1)}}\\ a_n& =\frac{\cancel{\sqrt{n}}}{\cancel{\sqrt{n}}\sqrt{4n^2+1}}\\ a_n& =\frac{1}{\sqrt{4n^2+1}}\\ \end{array}$

Größere Folge bestimmen

$(c_n{)}_{n\ge 1}$ mit $c_n=\frac{1}{\sqrt{4n^2}}=\frac{1}{2n}$

Kleinere Folge bestimmen

$(b_n{)}_{n\ge 1}$ mit $b_n=\frac{1}{\sqrt{9n^2}}=\frac{1}{3n}$

Grenzwerte bestimmen

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=0$

da $b_n\le a_n\le c_n$ folgt daraus

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$

Formulierung und Benennung

Sandwich-Theorem:

Seien $b_n$ und $c_n$ zwei konvergente Folgen für die gilt

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=a$

Sei $a_n$ eine Folge für die gilt

$b_n\le a_n\le c_n$

dann folgt daraus

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$

Beispiel 2

Aufgabe a

$f(x,y)=x^2+3y^2+e^{xy}$ mit $x_0=0,y_0=1$

Ableitungen bilden:

$\begin{array}{cc}{f}_x(x,y)& =2x+y{e}^{xy}\\ f_y(x,y)& =6y+x{e}^{xy}\end{array}$

In Ableitungen einsetzen:

$\begin{array}{cc}{f}_x(0,1)& =2\cdot 0+1\cdot e^{0\cdot 1}=1\\ f_y(0,1)& =6\cdot 1+0\cdot e^{0\cdot 1}=6\end{array}$

In originale Funktion einsetzen:

$f(0,1)=0^2+3\cdot 1^2+e^{0\cdot 1}=3+1=4$

Alle Werte in Formel einsetzen:

$\begin{array}{cc}z& =f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)\\ z& =4+1(x-0)+6(y-1)\\ z& =4+x+6y-6\\ z& =x+6y-2\end{array}$

Beispiel 3

Umformung

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime \prime }(x)& =\frac{1}{2}{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{2}f(x)+3e^x\\ y^{\prime \prime }& =\frac{1}{2}{y}^{\prime }+\frac{1}{2}y+3e^x\\ y^{\prime \prime }-\frac{1}{2}{y}^{\prime }-\frac{1}{2}y& =3e^x\\ \end{array}$

Bestimmung der allgemeinen Lösung

Störfunktion null setzen:

$y^{\prime \prime }-\frac{1}{2}{y}^{\prime }-\frac{1}{2}y=0$

Lösung durch Exponentialansatz:

$y_h(x)=e^{\lambda x},y_h^{\prime }(x)=\lambda e^{\lambda x},y_h^{\prime \prime }(x)={\lambda }^2{e}^{\lambda x}$

Einsetzen:

$\begin{array}{cccc}{\lambda }^2{e}^{\lambda x}-\frac{1}{2}\lambda e^{\lambda x}-\frac{1}{2}{e}^{\lambda x}& =0& & |:e^{\lambda x}\\ \end{array}$

Charakteristische Gleichung:

${\lambda }^2-\frac{1}{2}\lambda -\frac{1}{2}=0$

Nach $\lambda$ lösen:

$\begin{array}{cc}{\lambda }_{1,2}& =\frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{2}}\\ {\lambda }_{1,2}& =\frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{1}{16}+\frac{8}{16}}\\ {\lambda }_{1,2}& =\frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{9}{16}}\\ {\lambda }_{1,2}& =\frac{1}{4}\pm \frac{3}{4}\\ \end{array}$

${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-\frac{1}{2}$

Da ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ und reell, lautet die allgemeine Lösung:

$y_h(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-\frac{1}{2}x}$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

Bestimmung der partikulären Lösung

Ansatz anhand der Störfunktion $3e^x$ wählen:

Achtung: wäre laut Tabelle $y_p(x)=A{e}^x$ ist jedoch falsch, weil es hierbei zu einem Resonanzfall kommt, da der Ansatz $(A{e}^x)$ in der Lösung der homogenen Gleichung bereits enthalten ist $(C_1{e}^x)$. Um die lineare Unabhängigkeit zu gewährleisten, muss der Ansatz also noch mit $x$ multipliziert werden. (Das muss so lange wiederholt werden bis der Ansatz nicht mehr in der Lösung der homogenen Gleichung vorkommt.)

$y_p(x)=A{e}^{x}x$

Ableitungen bilden:

$\begin{array}{cccc}{y}_p^{\prime }(x)& =A{e}^x+xA{e}^x& & =A{e}^x(1+x)\\ y_p^{\prime \prime }(x)& =A{e}^x+A{e}^x+xA{e}^x& & =A{e}^x(2+x)\\ \end{array}$

Einsetzen in inhomogene Gleichung:

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime \prime }-\frac{1}{2}{y}^{\prime }-\frac{1}{2}y& =3e^x\\ A{e}^x(2+x)-\frac{1}{2}A{e}^x(1+x)-\frac{1}{2}A{e}^{x}x& =3e^x& & |:e^x\\ A(2+x)-\frac{1}{2}A(1+x)-\frac{1}{2}Ax& =3\\ 2A+\cancel{Ax}-\frac{1}{2}A\cancel{-\frac{1}{2}Ax}\cancel{-\frac{1}{2}Ax}& =3\\ 2A-\frac{1}{2}A& =3\\ \frac{3}{2}A& =3\\ 3A& =6\\ A& =2\end{array}$

Die partikuläre Lösung lautet somit:

$y_p(x)=x2e^x$

Bestimmung der Gesamtlösung

$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$

$y(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-\frac{1}{2}x}+x2e^x$

Lösung des Anfangswertproblems

$f(0)=1,f^{\prime }(0)=3$

Einsetzen in Lösung der Differentialgleichung:

$\begin{array}{cc}1& =C_1{e}^0+C_2{e}^{-\frac{1}{2}\cdot 0}+0\cdot 2e^0\\ 1& =C_1+C_2\end{array}$

Einsetzen in die erste Ableitung der Lösung der Differentialgleichung:

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }(x)& =C_1{e}^x-\frac{1}{2}{C}_2{e}^{-\frac{1}{2}x}+2e^x+x2e^x\\ 3& =C_1{e}^0-\frac{1}{2}{C}_2{e}^{-\frac{1}{2}\cdot 0}+2e^0+0\cdot 2e^0\\ 3& =C_1-\frac{1}{2}{C}_2+2& & |-2\\ 1& =C_1-\frac{1}{2}{C}_2& & |+\frac{1}{2}{C}_2\\ C_1& =1+\frac{1}{2}{C}_2\\ \end{array}$

$C_1$ in oberer Gleichung einsetzen:

$\begin{array}{cc}1& =C_1+C_2\\ 1& =1+\frac{1}{2}{C}_2+C_2\\ 1& =1+\frac{3}{2}{C}_2\\ \end{array}$

Daraus folgt:

$C_1=1,C_2=0$

Die Lösung der Differentialgleichung lautet somit:

$y(x)=e^x+x2e^x$

Beispiel 4

Aufgabe a

Wenn in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist $a$ ein Häufungspunkt von $(a_n{)}_{n\ge 0}$.

Aufgabe b

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h. falls

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N(\epsilon )\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(\epsilon ):|a_n-a|<\epsilon$

gilt.

Aufgabe c

Zwei Folgen sind asymptotisch gleich $(a_n\sim b_n)$wenn gilt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=1$

Aufgabe d

$c_n=o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{c_n}{n^{-\frac{1}{2}}}=0$

$\frac{1}{n}=o(c_n)\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^{-1}}{c_n}=0$

$n^{-\frac{1}{2}}>c_n>n^{-1}$

Falls eine bestimmte Lösung für $c_n$ angegeben werden soll eignet sich z.B.:

$c_n=n^{-\frac{3}{4}}$

Kann ggf. wie folgt auf Richtigkeit geprüft werden:

$n^{-\frac{3}{4}}=o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^{-\frac{3}{4}}}{n^{-\frac{1}{2}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^{-\frac{3}{4}}}{n^{-\frac{2}{4}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^{-\frac{5}{4}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt[4]{n^5}}=0$

$\frac{1}{n}=o(n^{-\frac{3}{4}})\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^{-1}}{n^{-\frac{3}{4}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^{-\frac{4}{4}}}{n^{-\frac{3}{4}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^{-\frac{7}{4}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt[4]{n^7}}=0$