TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2014-07-04

Quelle: Datei:TU Wien-Analysis VO (Panholzer) - Prüfung 04-07-2014.pdf

Beispiel 1 (8 Punkte)

Gegeben ist die Potenzreihe

$F(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{(n^{2}+1)2^{2n}}}$.

Man zeige unter Verwendung geeigneter Konvergenzkriterien, dass die Reihe $F(x)$ für alle reellen $x$ mit $|x|<4$ konvergiert und für alle $|x|>4$ divergiert. Man untersuche weiters das Konvergenzverhalten von $F(x)$ für $x=4$ und $x=-4$.

Beispiel 2 (8 Punkte)

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema, deren Typ sowie alle Sattelpunkte der reellen Funktion

$f(x,y)=3x^{2}y+4y^{3}-3x^{2}-12y^{2}+1$.

Beispiel 3 (8 Punkte)

Man berechne das Bereichsintegral

$\iint \limits _{B}(x+1)y\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$,

wobei $B\subset \mathbb {R} ^{2}$ der Dreiecksbereich sei, welcher durch die Eckpunkte $(1,0)$, $(-1,0)$ und $(0,1)$ gebildet wird.

Beispiel 4 (8 Punkte)

• Definieren Sie den Begriff Häufungspunkt einer Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$.
• Definieren Sie den Begriff Grenzwert einer Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$.
• Formulieren Sie den Hauptsatz über monotone Folgen. (Wie hängen monotone Folgen mit konvergenten Folgen zusammen.)
• Geben Sie eine Folge $(c_{n})_{n\geq 1}$ an, welche folgendes asymptotische Verhalten zeigt:
  $c_{n}=o({\frac {1}{\sqrt {n}}})$, aber ${\frac {1}{n}}=o(c_{n})$.

Beispiel 5 (8 Punkte)

Beantworten Sie die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen zum Thema "Differential- und Integralrechnung in einer Variablen" (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein; für jede vollständig richtige Antwort gibt es einen Punkt; es werden für falsche Antworten KEINE Punkte abgezogen):

Für welche der unten angegebenen reellen Funktionen $f(x)$ existiert das bestimmte Integral $\int _{0}^{10}f(x)\,\mathrm {d} x$? (Der Ganzteil $\lfloor x\rfloor$ von $x:\lfloor x\rfloor :={\text{max}}\{n\in \mathbb {Z} :n\leq x\}$)

• $f(x)=\lfloor x\rfloor$
• $f(x)={\begin{cases}0&x\in \mathbb {N} \\1&x\notin \mathbb {N} \end{cases}}$
• $f(x)={\begin{cases}0&x\in \mathbb {Q} \\1&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}$

Wenn eine Funktion $f$ auf dem Intervall $[a,b]$ monoton ist, ist sie dann in diesem Intervall auf jeden Fall integrierbar?

• ja
• nein

Wenn eine Funktion $f$ auf $[a,b]$ nicht stetig ist, ist es dann möglich, dass $f(x)$ auf $[a,b]$ integrierbar ist?

• ja
• nein

Welche der folgenden Funktionen ist/sind differenzierbar an der Stelle 0? ($|x|$: Betrag von $x$)

• $|x|^{2}$
• $|x|$
• $x\cdot |x|$

Wenn eine Funktion $f(x)$ auf $[a,b]$ differenzierbar ist, was gilt dann für Funktion $f(x)$ auf jeden Fall noch?

• $f(x)$ auf $[a,b]$ monoton
• $f(x)$ auf $[a,b]$ integrierbar
• $f(x)$ auf $[a,b]$ stetig

Im folgenden betrachten wir immer die Funktion $g(x)=xe^{-x}$.

Um die folgenden Fragen zu beantworten, können Sie natürlich Nebenrechnungen machen, gewertet wird aber nur, was hier angekreuzt wurde!

• Wo besitzt $g(x)$ lokale Extremwerte?
  • $-e$
  • $-2$
  • $-1$
  • $0$
  • $1$
  • $2$
  • $e$
  • keine Extrema

• Wo besitzt $g(x)$ Wendepunkte?
  • $-e$
  • $-2$
  • $-1$
  • $0$
  • $1$
  • $2$
  • $e$
  • keine Wendepunkte

• Was ist der Wert des bestimmten Integrals $\int _{0}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x$?
  • $-e$
  • $-2$
  • $-1$
  • $0$
  • $1$
  • $2$
  • $e$
  • $-\infty$
  • $+\infty$