TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2014-07-04

Quelle: Datei:TU Wien-Analysis VO (Panholzer) - Prüfung 04-07-2014.pdf

Beispiel 1 (8 Punkte)

Gegeben ist die Potenzreihe

$F(x)=\sum _{n\ge 0}\frac{x^n}{(n^2+1)2^{2n}}$.

Man zeige unter Verwendung geeigneter Konvergenzkriterien, dass die Reihe $F(x)$ für alle reellen $x$ mit $|x|<4$ konvergiert und für alle $|x|>4$ divergiert. Man untersuche weiters das Konvergenzverhalten von $F(x)$ für $x=4$ und $x=-4$.

Beispiel 2 (8 Punkte)

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema, deren Typ sowie alle Sattelpunkte der reellen Funktion

$f(x,y)=3x^{2}y+4y^3-3x^2-12y^2+1$.

Beispiel 3 (8 Punkte)

Man berechne das Bereichsintegral

$\underset{B}{\iint }(x+1)y\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,

wobei $B\subset {ℝ}^2$ der Dreiecksbereich sei, welcher durch die Eckpunkte $(1,0)$, $(-1,0)$ und $(0,1)$ gebildet wird.

Beispiel 4 (8 Punkte)

• Definieren Sie den Begriff Häufungspunkt einer Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$.
• Definieren Sie den Begriff Grenzwert einer Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$.
• Formulieren Sie den Hauptsatz über monotone Folgen. (Wie hängen monotone Folgen mit konvergenten Folgen zusammen.)
• Geben Sie eine Folge $(c_n{)}_{n\ge 1}$ an, welche folgendes asymptotische Verhalten zeigt:
  $c_n=o(\frac{1}{\sqrt{n}})$, aber $\frac{1}{n}=o(c_n)$.

Beispiel 5 (8 Punkte)

Beantworten Sie die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen zum Thema "Differential- und Integralrechnung in einer Variablen" (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein; für jede vollständig richtige Antwort gibt es einen Punkt; es werden für falsche Antworten KEINE Punkte abgezogen):

Für welche der unten angegebenen reellen Funktionen $f(x)$ existiert das bestimmte Integral ${\int }_0^{10}f(x)\mathrm{d}x$? (Der Ganzteil $\lfloor x\rfloor$ von $x:\lfloor x\rfloor :=\text{max}\{n\in \mathbb{Z}:n\le x\}$)

• $f(x)=\lfloor x\rfloor$
• $f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x\in \mathbb{N}\\ 1& x\notin \mathbb{N}\end{array}$
• $f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x\in \mathbb{Q}\\ 1& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$

Wenn eine Funktion $f$ auf dem Intervall $[a,b]$ monoton ist, ist sie dann in diesem Intervall auf jeden Fall integrierbar?

• ja
• nein

Wenn eine Funktion $f$ auf $[a,b]$ nicht stetig ist, ist es dann möglich, dass $f(x)$ auf $[a,b]$ integrierbar ist?

• ja
• nein

Welche der folgenden Funktionen ist/sind differenzierbar an der Stelle 0? ($|x|$: Betrag von $x$)

• $|x{|}^2$
• $|x|$
• $x\cdot |x|$

Wenn eine Funktion $f(x)$ auf $[a,b]$ differenzierbar ist, was gilt dann für Funktion $f(x)$ auf jeden Fall noch?

• $f(x)$ auf $[a,b]$ monoton
• $f(x)$ auf $[a,b]$ integrierbar
• $f(x)$ auf $[a,b]$ stetig

Im folgenden betrachten wir immer die Funktion $g(x)=x{e}^{-x}$.

Um die folgenden Fragen zu beantworten, können Sie natürlich Nebenrechnungen machen, gewertet wird aber nur, was hier angekreuzt wurde!

• Wo besitzt $g(x)$ lokale Extremwerte?
  • $-e$
  • $-2$
  • $-1$
  • $0$
  • $1$
  • $2$
  • $e$
  • keine Extrema

• Wo besitzt $g(x)$ Wendepunkte?
  • $-e$
  • $-2$
  • $-1$
  • $0$
  • $1$
  • $2$
  • $e$
  • keine Wendepunkte

• Was ist der Wert des bestimmten Integrals ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$?
  • $-e$
  • $-2$
  • $-1$
  • $0$
  • $1$
  • $2$
  • $e$
  • $-\mathrm{\infty }$
  • $+\mathrm{\infty }$