TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2016-07-01

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Angabe

Beispiel 1

Man zeige, dass die Potenzreihe $\sum _{n\ge 0}{n}^2{3}^{-2n}{x}^n$ für $|x|<9$ konvergiert und für $|x|>9$ divergiert. Weiters untersuche man das Konvergenzverhalten an den Stellen $x=9$ und $x=-9$. Die verwendeten Konvergenzkriterien sollten angegeben werden.

Beispiel 2

Man bestimme die Stammfunktionen von $f(x)=\frac{e^{2x}+e^x+1}{(e^x+1{)}^2}$

Beispiel 3

Gegeben sie die reelle Funktion $f:{ℝ}^2\to ℝ$ mit $f(x,y)=x^2(y-1)+x{e}^{y^2}$.

a) Man bestimme den Gradienten $\text{grad }f(x_0,y_0)$ von $f$ an der Stelle $(x_0,y_0)=(1,0)$.

b) Man bestimme die Richtungsableitung von $f(x,y)$ an der Stelle $(x_0,y_0)=(1,0)$ in Richtung (noch zu normierenden) Vektors $\overrightarrow{w}=(1,-1)$.

c) Man bestimme die lineare Approximation (entsprechende Taylorreihenentwicklung) von $f(x,y)$ im Entwicklungspunkt $(x_0,y_0)=(1,0)$.

Beispiel 4

a) Wann heißt eine Funktion stetig an der Stelle $x_0$?

b) Zwischenwertsatz

c) Wann heißt eine Funktion differenzierbar an der Stelle $x_0$?

d) Mittelwertsatz der Integralrechnung (oder Differentialrechnung?)

Beispiel 5

(gleich wie in der Prüfung vom Datei:TU Wien-Analysis VO (Panholzer) - Analysis 2012 07 03 panholzer.pdf)

Beantworten Sie die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen zum Thema "Folgen und Reihen" (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein; für jede vollständig richtige Antwort gibt es einen Punkt; es werden für falsche Antworten KEINE Punkte abgezogen):

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

1

Welche der folgenden Aussagen sind/ist richtig?

	Jeder Häufungspunkt ist Grenzwert
	Jeder Grenzwert ist Häufungspunkt

2

Gegeben ist eine Folge $a_n$. Was gilt?

	$a_n$ besitzt höchstens einen Grenzwert
	$a_n$ besitzt mindestens einen Grenzwert

---

Welche der folgenden Aussagen sind/ist richtig?

• Jede beschränkte Folge ist konvergent
• Jede konvergente Folge ist beschränkt
• Jede monotone Folge ist konvergent
• Jede konvergente Folge ist monoton

---

Sei $a_n$ eine Cauchy-Folge, also für alle $ϵ>0$ existiert ein $N(ϵ)$, sodass $|a_n-a_m|<ϵ$ für alle $n,m>N(ϵ)$. Was gilt dann?

• $a_n$ ist monoton
• $a_n$ ist konvergent
• $a_n$ ist Nullfolge

---

Gegeben seien die Folgen $a_n=\frac{1}{n}$ und $b_n=\frac{n}{n^2+1}$. Welche "Landau-Beziehungen" gelten?

• $a_n=𝒪(b_n)$
• $a_n=o(b_n)$
• $a_n\sim b_n$

---

Angenommen die Reihe $\sum _{n\ge 0}{a}_n$ konvergiert. Wass wissen wir dann über die Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$ der Reihenglieder?

• $a_n$ bildet eine Nullfolge
• $a_n=o(1)$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$

---

Wie ist das Cauchy-Produkt zweier Reihen $\sum _{n\ge 0}{a}_n$ und $\sum _{n\ge 0}{b}_n$ definiert?

• $\sum _{n\ge 0}(\sum _{k=0}^n{a}_k\cdot b_k)$
• $\sum _{n\ge 0}(\sum _{k=0}^n{a}_k+b_{n-k})$
• $\sum _{n\ge 0}(\sum _{k=0}^n{a}_k\cdot b_{n-k})$

---

Wie kann man den Konvergenzradius R einer Potenzreihe bestimmen?

• $R=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\sqrt[n]{|a_n|}}$
• $R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\sqrt[n]{|a_n|}$
• $R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\sqrt[n]{|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}$

Lösungsvorschläge

Beispiel 1

$\sum _{n\ge 0}{n}^2{3}^{-2n}{x}^n=\sum _{n\ge 0}{n}^2{9}^{-n}{x}^n$

Konvergenzverhalten für $x=9$:

$\sum _{n\ge 0}{n}^2{9}^{-n}{9}^n=\sum _{n\ge 0}{n}^2$

Nullfolgenkriterium: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2\ne 0\Rightarrow \text{divergent}$

Konvergenzverhalten für $x=-9$:

$\sum _{n\ge 0}{n}^2{9}^{-n}(-9{)}^n=\sum _{n\ge 0}{n}^2{\left(\frac{-9}{9}\right)}^n=\sum _{n\ge 0}(-1{)}^n{n}^2$

Nullfolgenkriterium: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-1{)}^n{n}^2\ne 0\Rightarrow \text{divergent}$

Beispiel 2

WolframAlpha

$\begin{array}{cc}\int \frac{e^{2x}+e^x+1}{(e^x+1{)}^2}& =\int \frac{(e^x+1{)}^2-e^x}{(e^x+1{)}^2}\\ & =\int 1-\frac{e^x}{(e^x+1{)}^2}\\ & =x-\int \frac{e^x}{u^2}\frac{du}{e^x}\\ & =x-\int \frac{1}{u^2}du\\ & =x+\frac{1}{e^x+1}+C\end{array}$

Die zugehörige Substitution lautet

$\begin{array}{cc}& u=e^x+1\\ & \frac{du}{dx}=e^x\\ & dx=\frac{du}{e^x}\end{array}$