Thread im Informatik-Forum
Man zeige, dass die Potenzreihe
für
konvergiert und für
divergiert. Weiters untersuche man das Konvergenzverhalten an den Stellen
und
. Die verwendeten Konvergenzkriterien sollten angegeben werden.
Man bestimme die Stammfunktionen von
Gegeben sie die reelle Funktion
mit
.
a) Man bestimme den Gradienten
von
an der Stelle
.
b) Man bestimme die Richtungsableitung von
an der Stelle
in Richtung (noch zu normierenden) Vektors
.
c) Man bestimme die lineare Approximation (entsprechende Taylorreihenentwicklung) von
im Entwicklungspunkt
.
a) Wann heißt eine Funktion stetig an der Stelle
?
b) Zwischenwertsatz
c) Wann heißt eine Funktion differenzierbar an der Stelle
?
d) Mittelwertsatz der Integralrechnung (oder Differentialrechnung?)
(gleich wie in der Prüfung vom Datei:TU Wien-Analysis VO (Panholzer) - Analysis 2012 07 03 panholzer.pdf)
Beantworten Sie die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen zum Thema "Folgen und Reihen" (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein; für jede vollständig richtige Antwort gibt es einen Punkt; es werden für falsche Antworten KEINE Punkte abgezogen):
Welche der folgenden Aussagen sind/ist richtig?
- Jede beschränkte Folge ist konvergent
- Jede konvergente Folge ist beschränkt
- Jede monotone Folge ist konvergent
- Jede konvergente Folge ist monoton
Sei
eine Cauchy-Folge, also für alle
existiert ein
, sodass
für alle
. Was gilt dann?
ist monoton
ist konvergent
ist Nullfolge
Gegeben seien die Folgen
und
. Welche "Landau-Beziehungen" gelten?
![{\displaystyle a_{n}={\mathcal {O}}(b_{n})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=342371610b284a1a2d9cf141bae17d51&mode=mathml)
![{\displaystyle a_{n}=o(b_{n})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7784dcbbe2c99be96915a9f90d4f0f20&mode=mathml)
![{\displaystyle a_{n}\sim b_{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=630dc4519d820a5856a383c8a1c882ee&mode=mathml)
Angenommen die Reihe
konvergiert. Wass wissen wir dann über die Folge
der Reihenglieder?
bildet eine Nullfolge
![{\displaystyle a_{n}=o(1)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ab6104673613465a751c154ccc1260b3&mode=mathml)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=679afe3dd962059db1a71f1455cdc0ec&mode=mathml)
Wie ist das Cauchy-Produkt zweier Reihen
und
definiert?
![{\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot b_{k}\right)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1e283867dbc6e08e7e800cce38a6496c&mode=mathml)
![{\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}+b_{n-k}\right)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fa57de6e42e69987e7c05420afca6d63&mode=mathml)
![{\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot b_{n-k}\right)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=890d7cca2f32c5a707de8b505ccdd129&mode=mathml)
Wie kann man den Konvergenzradius R einer Potenzreihe bestimmen?
![{\displaystyle R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ca4e8ddb78614397bbd7d6df828e902a&mode=mathml)
![{\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=731844928e8b75e044394e0e98c988a2&mode=mathml)
![{\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}|}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dbd0a83e1432ec1451bd3758e27d30a0&mode=mathml)
Konvergenzverhalten für
:
Nullfolgenkriterium:
Konvergenzverhalten für
:
Nullfolgenkriterium:
WolframAlpha
Die zugehörige Substitution lautet