TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2016-07-01

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Thread im Informatik-Forum

Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man zeige, dass die Potenzreihe für konvergiert und für divergiert. Weiters untersuche man das Konvergenzverhalten an den Stellen und . Die verwendeten Konvergenzkriterien sollten angegeben werden.

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man bestimme die Stammfunktionen von

Beispiel 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sie die reelle Funktion mit .

a) Man bestimme den Gradienten von an der Stelle .

b) Man bestimme die Richtungsableitung von an der Stelle in Richtung (noch zu normierenden) Vektors .

c) Man bestimme die lineare Approximation (entsprechende Taylorreihenentwicklung) von im Entwicklungspunkt .

Beispiel 4[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

a) Wann heißt eine Funktion stetig an der Stelle ?

b) Zwischenwertsatz

c) Wann heißt eine Funktion differenzierbar an der Stelle ?

d) Mittelwertsatz der Integralrechnung (oder Differentialrechnung?)

Beispiel 5[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(gleich wie in der Prüfung vom Datei:TU Wien-Analysis VO (Panholzer) - Analysis 2012 07 03 panholzer.pdf)

Beantworten Sie die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen zum Thema "Folgen und Reihen" (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein; für jede vollständig richtige Antwort gibt es einen Punkt; es werden für falsche Antworten KEINE Punkte abgezogen):

  

1 Welche der folgenden Aussagen sind/ist richtig?

2 Gegeben ist eine Folge . Was gilt?



Welche der folgenden Aussagen sind/ist richtig?

  • Jede beschränkte Folge ist konvergent
  • Jede konvergente Folge ist beschränkt
  • Jede monotone Folge ist konvergent
  • Jede konvergente Folge ist monoton

Sei eine Cauchy-Folge, also für alle existiert ein , sodass für alle . Was gilt dann?

  • ist monoton
  • ist konvergent
  • ist Nullfolge

Gegeben seien die Folgen und . Welche "Landau-Beziehungen" gelten?


Angenommen die Reihe konvergiert. Wass wissen wir dann über die Folge der Reihenglieder?

  • bildet eine Nullfolge

Wie ist das Cauchy-Produkt zweier Reihen und definiert?


Wie kann man den Konvergenzradius R einer Potenzreihe bestimmen?

Lösungsvorschläge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Konvergenzverhalten für :

Nullfolgenkriterium:


Konvergenzverhalten für :

Nullfolgenkriterium:

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

WolframAlpha

Die zugehörige Substitution lautet

Beispiel 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 4[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 5[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]