TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2016-07-01

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Angabe

Beispiel 1

Man zeige, dass die Potenzreihe $\sum _{n\geq 0}n^{2}3^{-2n}x^{n}$ für $|x|<9$ konvergiert und für $|x|>9$ divergiert. Weiters untersuche man das Konvergenzverhalten an den Stellen $x=9$ und $x=-9$. Die verwendeten Konvergenzkriterien sollten angegeben werden.

Beispiel 2

Man bestimme die Stammfunktionen von $f(x)={\frac {e^{2x}+e^{x}+1}{(e^{x}+1)^{2}}}$

Beispiel 3

Gegeben sie die reelle Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ mit $f(x,y)=x^{2}(y-1)+xe^{y^{2}}$.

a) Man bestimme den Gradienten ${\text{grad }}f(x_{0},y_{0})$ von $f$ an der Stelle $(x_{0},y_{0})=(1,0)$.

b) Man bestimme die Richtungsableitung von $f(x,y)$ an der Stelle $(x_{0},y_{0})=(1,0)$ in Richtung (noch zu normierenden) Vektors ${\vec {w}}=(1,-1)$.

c) Man bestimme die lineare Approximation (entsprechende Taylorreihenentwicklung) von $f(x,y)$ im Entwicklungspunkt $(x_{0},y_{0})=(1,0)$.

Beispiel 4

a) Wann heißt eine Funktion stetig an der Stelle $x_{0}$?

b) Zwischenwertsatz

c) Wann heißt eine Funktion differenzierbar an der Stelle $x_{0}$?

d) Mittelwertsatz der Integralrechnung (oder Differentialrechnung?)

Beispiel 5

(gleich wie in der Prüfung vom Datei:TU Wien-Analysis VO (Panholzer) - Analysis 2012 07 03 panholzer.pdf)

Beantworten Sie die folgenden Fragen bzw. überprüfen Sie die nachstehenden Aussagen zum Thema "Folgen und Reihen" (bitte ankreuzen; es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein; für jede vollständig richtige Antwort gibt es einen Punkt; es werden für falsche Antworten KEINE Punkte abgezogen):

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

1 Welche der folgenden Aussagen sind/ist richtig?

	Jeder Häufungspunkt ist Grenzwert
	Jeder Grenzwert ist Häufungspunkt

2 Gegeben ist eine Folge $a_{n}$. Was gilt?

	$a_{n}$ besitzt höchstens einen Grenzwert
	$a_{n}$ besitzt mindestens einen Grenzwert

---

Welche der folgenden Aussagen sind/ist richtig?

• Jede beschränkte Folge ist konvergent
• Jede konvergente Folge ist beschränkt
• Jede monotone Folge ist konvergent
• Jede konvergente Folge ist monoton

---

Sei $a_{n}$ eine Cauchy-Folge, also für alle $\epsilon >0$ existiert ein $N(\epsilon )$, sodass $|a_{n}-a_{m}|<\epsilon$ für alle $n,m>N(\epsilon )$. Was gilt dann?

• $a_{n}$ ist monoton
• $a_{n}$ ist konvergent
• $a_{n}$ ist Nullfolge

---

Gegeben seien die Folgen $a_{n}={\frac {1}{n}}$ und $b_{n}={\frac {n}{n^{2}+1}}$. Welche "Landau-Beziehungen" gelten?

• $a_{n}={\mathcal {O}}(b_{n})$
• $a_{n}=o(b_{n})$
• $a_{n}\sim b_{n}$

---

Angenommen die Reihe $\sum _{n\geq 0}a_{n}$ konvergiert. Wass wissen wir dann über die Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$ der Reihenglieder?

• $a_{n}$ bildet eine Nullfolge
• $a_{n}=o(1)$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

---

Wie ist das Cauchy-Produkt zweier Reihen $\sum _{n\geq 0}a_{n}$ und $\sum _{n\geq 0}b_{n}$ definiert?

• $\sum _{n\geq 0}\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot b_{k}\right)$
• $\sum _{n\geq 0}\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}+b_{n-k}\right)$
• $\sum _{n\geq 0}\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot b_{n-k}\right)$

---

Wie kann man den Konvergenzradius R einer Potenzreihe bestimmen?

• $R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}$
• $R=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$
• $R=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}|}}$

Lösungsvorschläge

Beispiel 1

$\sum _{n\geq 0}n^{2}3^{-2n}x^{n}=\sum _{n\geq 0}n^{2}9^{-n}x^{n}$

Konvergenzverhalten für $x=9$:

$\sum _{n\geq 0}n^{2}9^{-n}9^{n}=\sum _{n\geq 0}n^{2}$

Nullfolgenkriterium: $\lim _{n\rightarrow \infty }n^{2}\neq 0\Rightarrow {\text{divergent}}$

Konvergenzverhalten für $x=-9$:

$\sum _{n\geq 0}n^{2}9^{-n}(-9)^{n}=\sum _{n\geq 0}n^{2}\left({\frac {-9}{9}}\right)^{n}=\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}n^{2}$

Nullfolgenkriterium: $\lim _{n\rightarrow \infty }(-1)^{n}n^{2}\neq 0\Rightarrow {\text{divergent}}$

Beispiel 2

WolframAlpha

${\begin{aligned}\int {\frac {e^{2x}+e^{x}+1}{(e^{x}+1)^{2}}}&=\int {\frac {(e^{x}+1)^{2}-e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}}\\&=\int 1-{\frac {e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}}\\&=x-\int {\frac {e^{x}}{u^{2}}}{\frac {du}{e^{x}}}\\&=x-\int {\frac {1}{u^{2}}}du\\&=x+{\frac {1}{e^{x}+1}}+C\end{aligned}}$

Die zugehörige Substitution lautet

${\begin{aligned}&u=e^{x}+1\\&{\frac {du}{dx}}=e^{x}\\&dx={\frac {du}{e^{x}}}\end{aligned}}$