TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2018-09-27

100 Minuten Zeit

5 Beispiele, jeweils 8 Punkte pro Beispiel möglich

Aufgabe 1

(a) Aus einer gegebenen Reihe $\sum {\frac {2^{k}(k-1)}{(k+1)!}}$ den Summanden a_k bestimmen und so umformen, dass eine Teleskopsumme erkennbar ist ($a_{k}=b_{k}-b_{k+1}$).

(b) Mithilfe von (a) den Grenzwert bestimmen.

Aufgabe 2

Grenzwert zweier Funktionen mit Regel von de l'Hospital berechnen und die Regel von de l'Hospital erklären

(a) $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x^{2})}{x^{2}}}$

(b) $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{\tan(x)}}-{\frac {1}{\sin(x)}}$

Aufgabe 3

Gegeben $f(x,y,z)=2x^{2}-3xz^{2}+y^{3}+3z^{2}-3y+3$

a) Stationäre Punkte bestimmten

b) lineare Approximation mit Taylorpolynom erster Ordnung in Entwicklungspunkt P(1,0,-1)

Aufgabe 4

(a) Was ist ein bestimmtes Integral, unbestimmtes Integral, uneigentliches Integral, jeweils formulieren und ein Beispiel geben.

(b) Mittelwertsatz der Integralrechnung formulieren und mit Skizze veranschaulichen.

Aufgabe 5

8 Multiple-Choice Fragen zu Folgen und Reihen (es gilt wie immer: keine, eine oder mehrere Antworten können richtig sein)

-) Die Monotonie einer Folge ist ... für die Konvergenz a) notwendig b) hinreichend

-) Mathematische Definition von stetig (ist im Buch auf Seite 189, Defintion 4.85) drei Auswahlmöglichkeiten hats gegeben

-) Die Beschränktheit einer Folge ist ... für die Konvergenz a) notwendig b) hinreichend

-) Wann ist eine unendliche Reihe konvergent? a) wenn die Folge konvergent ist b) wenn die Folge eine Nullfolge ist c) wenn die Folge beschränkt ist

-) Die Funktion $e^{x}$: a) ist stetig $\forall x\in \mathbb {R}$ b) besitzt ein absolutes Minimum c) streng monoton wachsend

-) Die Funktion tan x a) hat eine Umkehrfunktion b) c)

-) Die Reihe $({\frac {-99}{100}})^{n}$ a) eine alternierende Reihe b) absolut konvergent c) Die Summe ist ${\frac {999}{1000}}$