TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2018-09-27

100 Minuten Zeit

5 Beispiele, jeweils 8 Punkte pro Beispiel möglich

Aufgabe 1

(a) Aus einer gegebenen Reihe $\sum \frac{2^k(k-1)}{(k+1)!}$ den Summanden a_k bestimmen und so umformen, dass eine Teleskopsumme erkennbar ist ($a_k=b_k-b_{k+1}$).

(b) Mithilfe von (a) den Grenzwert bestimmen.

Aufgabe 2

Grenzwert zweier Funktionen mit Regel von de l'Hospital berechnen und die Regel von de l'Hospital erklären

(a) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x^2)}{x^2}$

(b) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\tan (x)}-\frac{1}{\sin (x)}$

Aufgabe 3

Gegeben $f(x,y,z)=2x^2-3x{z}^2+y^3+3z^2-3y+3$

a) Stationäre Punkte bestimmten

b) lineare Approximation mit Taylorpolynom erster Ordnung in Entwicklungspunkt P(1,0,-1)

Aufgabe 4

(a) Was ist ein bestimmtes Integral, unbestimmtes Integral, uneigentliches Integral, jeweils formulieren und ein Beispiel geben.

(b) Mittelwertsatz der Integralrechnung formulieren und mit Skizze veranschaulichen.

Aufgabe 5

8 Multiple-Choice Fragen zu Folgen und Reihen (es gilt wie immer: keine, eine oder mehrere Antworten können richtig sein)

-) Die Monotonie einer Folge ist ... für die Konvergenz a) notwendig b) hinreichend

-) Mathematische Definition von stetig (ist im Buch auf Seite 189, Defintion 4.85) drei Auswahlmöglichkeiten hats gegeben

-) Die Beschränktheit einer Folge ist ... für die Konvergenz a) notwendig b) hinreichend

-) Wann ist eine unendliche Reihe konvergent? a) wenn die Folge konvergent ist b) wenn die Folge eine Nullfolge ist c) wenn die Folge beschränkt ist

-) Die Funktion $e^x$: a) ist stetig $\mathrm{\forall }x\in ℝ$ b) besitzt ein absolutes Minimum c) streng monoton wachsend

-) Die Funktion tan x a) hat eine Umkehrfunktion b) c)

-) Die Reihe $(\frac{-99}{100}{)}^n$ a) eine alternierende Reihe b) absolut konvergent c) Die Summe ist $\frac{999}{1000}$