TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2018-11-23

100 Minuten Zeit

5 Beispiele, jeweils 8 Punkte pro Beispiel möglich

Die Angabe wurde der Einsicht entnommen

Aufgabe 1

(a) Man formuliere allgemein den Hauptsatz über monotone Folgen.

Ab nun betrachten wir die reelle Zahlenfolge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, welche rekursiv wie folgt definiert ist:

$(a_n{)}_{n+1}=\sqrt{a_n+1}$, für $n\ge 0$, $a_0=1$

(b) Unter der Annahme, dass die Folge $a_n$ konvergiert (dass dies tatsächlich der Fall ist, ergibt sich durch (c) & (d) unter Verwendung von (a)), ermittle man unter der Benutzung der Rechenregeln für Grenzwerte und der Stetigkeit der Wurzelfunktion den (möglichen) Grenzwert $a:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$

(c) Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Folge $a_n$ beschränkt ist. Hinweis: Es bietet sich z.B. an, zu zeigen, dass $0\le a_n\le a$, für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt.

(d) Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Folge $a_n$monoton wachsend ist.

Aufgabe 2

Gegeben sei die reelle Funktion $f(x)=e^{-x}sinx$

(a) Man berechne das Taylorpolynom $T_2(x)$zweiter Ordnung von $f(x)$ im Entwicklungspunkt $x_0=0$ (ohne Angabe des Restgliedes).

(b) Man berechne den Wert des uneigentlichen Integrals $I:=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

Hinweis: zweimalige partielle Integration liefert eine Gleichung, aus der sich $I$leicht bestimmen lässt.

Aufgabe 3

Gegeben sei die bivariate reelle Funktion $g:{ℝ}^2\mathrm{\setminus }\{(0,0)\}\to ℝ$ mittels $g(x,y)=ln(x^2+y^2)-xy$

(a) Man bestimme den Gradienten $grad(x,y)$

(b) Man ermittle alle stationären Punkte von $g(x,y)$

(c) Man bestimme die Richtungsableitung $\frac{\partial g}{\partial \overrightarrow{v}}(1,0)$ von $g$nach $\overrightarrow{v}$an der Stelle $(x_0,y_0)=(1,0)$, wobei $\overrightarrow{v}$ der normierte Richtungsvektor sein soll, welcher in Richtung des Gradienten zeigt.

Aufgabe 4

Konvergenzkriterien für Reihen $\sum _{n\ge 0}{a}_n$

(a) Formulieren Sie den "Konvergenzteil" des Quotientenkriteriums, also wie sich mit Hilfe dieses Kriteriums zeigen lässt, dass eine gegebene Reihe konvergiert und geben Sie als konkretes Beispiel eine konvergente Reihe $R_1$an, wo man Konvergenz mittels Quotientenkriterium beweisen kann.

(b) Formulieren Sie den "Divergenzteil" des Wurzelkriteriums, also wie sich mit Hilfe dieses Kriteriums zeigen lässt, dass eine gegebene Reihe divergiert und geben Sie als konkretes Beispiel eine divergente Reihe $R_2$an, wo man Divergenz mittels Wurzelkriterium beweisen kann.

(c) Formulieren Sie das Integralkriterium und geben Sie als konkretes Beispiel eine Reihe $R_3$an, wo sich Konvergenz bzw. Divergenz mit Hilfe des Quotientenkriteriums entscheiden lässt, aber das Integralkriterium anwendbar ist.

Aufgabe 5

Es können keine, genau eine oder auch mehrere Antworten zutreffend sein, keine Abzüge und pro vollständiger richtiger Antwort gibt es einen Punkt:

(a) Sei $(a_n{)}_{n\ge 0}$eine konvergente Folge. Was lässt sich daraus folgern?

1. $(a_n)$ist eine monotone Folge
2. $(a_n)$besitzt ein Supremum und ein Infinum
3. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{a}_n$

(b) Gegeben sei die Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$ mit $a_n=(-1{)}^n-1$ , welche der folgenden Werte sind Häufungspunkte dieser Folge?

1. $-\mathrm{\infty }$
2. $-3$
3. $-2$
4. $-1$
5. $0$
6. $1$
7. $2$
8. $3$
9. $+\mathrm{\infty }$

(c) Gegeben seien Folgen $b_n=\frac{n^2}{2n+1}$ und $c_n=n$für $n\ge 0$. Welche der folgenden asymptotischen Beziehungen (für $n\to \mathrm{\infty }$) gelten?

1. $b_n=𝒪(c_n)$
2. $b_n=o(c_n)$
3. $b_n\sim c_n$
4. $b_n=\Theta (c_n)$

(d) Die Funktion natürlicher Logarithmus $lnx$:

1. ist für $x>0$ streng monoton wachsend
2. ist für $x>0$ beschränkt
3. ist auf dem Intvervall $I=(0,\mathrm{\infty })$ eine injektive Funktion

(e) Die Winkelfunktion $cosx$

1. ist für alle $x\in ℝ$ eine stetige Funktion
2. besitzt auf dem Intervall $I=[0,\pi ]$ eine eindeutige Umkehrfunktion
3. besitzt einen Grenzwert für $x\to +\mathrm{\infty }$

(f) Welche der folgenden Funktionen besitzen an der Stelle $x=0$ einen Grenzwert?

1. $\frac{sinx}{x}$
2. $sin\left(\frac{1}{x}\right)$
3. $x\cdot sin\left(\frac{1}{x}\right)$

(g) Welche der folgenden Eigenschaften besitzt die reelle Funktion $g(x)=x\cdot |x|$?

1. stetig
2. differenzierbar
3. stetig differenzierbar
4. zweimal differenzierbar

(h) Welche der folgenden Funktionen sind Stammfunktionen $G(x)$ der reellen Funktion $g(x)=x\cdot |x|$?

1. $-\frac{1}{3}{x}^3$
2. $\frac{1}{3}{x}^3$
3. $\frac{1}{3}{x}^2\cdot |x|$

Lösung: a: 2,3; b: 3,5; c: 1,4; d: 1,3; e: 1,2; f: 1,3; g; 1,2,3; h: 3