TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2022-06-08

Angaben vorerst als Gedächtnisprotokoll nach der Prüfung

Aufgabe 1

a) Definition Hauptsatz über monotone Folgen

Zur rekursiv definierte Folge $a_{n+1}=\sqrt{2a_n+1},a_0=1$:

b) Monotones Wachstum beweisen

c) Beschränkung beweisen

d) Grenzwert mittels Rechenregeln für Grenzwerte bestimmen

Aufgabe 2

a) Regel von de L'Hospital anwenden auf die unbestimmte Form $1^{-\mathrm{\infty }}$ von $(1-\frac{1}{x}{)}^{-x}$. Gegebener Hinweis: Nutzung von $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=e^{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln f(x)}$

Lösungsvorschlag

Durch den gegebenen Hinweis kann man den Exponenten dank Logarithmus-Regeln nach vorne ziehen und erhält dadurch einen neuen Ausdruck für den Limes:

$e^{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln \left({(1-\frac{1}{x})}^{-x}\right)}=e^{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}-x\ln (1-\frac{1}{x})}$

Nun kann dieser neue Ausdruck für den Limes separat betrachtet werden:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}-x\ln (1-\frac{1}{x})$

Für die Regel von de l'Hospital benötigt man einen Bruch. Das bekommt man mit folgendem Trick (durch Kehrwert dividieren) hin:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}-x\ln (1-\frac{1}{x})=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (1-\frac{1}{x})}{-\frac{1}{x}}$

Nun können beide Funktionen abgeleitet werden:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (1-\frac{1}{x})}{-\frac{1}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{(1-\frac{1}{x})x^2}=\frac{1}{x(x-1)}$

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$

Und de l'Hospital angewendet werden:

$\begin{array}{cc}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x{)}^{\prime }}{g(x{)}^{\prime }}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{x(x-1)}}{\frac{1}{x^2}}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^{\cancel{2}}}{\cancel{x}(x-1)}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}(1-\frac{1}{x})}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}(1-\frac{1}{x})}\\ & =\frac{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}1}{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}1-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}}\\ & =\frac{1}{1-0}=1\\ \end{array}$

Nun darf man nicht vergessen diesen Grenzwert wieder an die ursprüngliche Stelle (Exponentialfunktion) einzusetzen.

$e^1=e$

Damit haben wir den Grenzwert:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1-\frac{1}{x})}^{-x}=e$

b) Konvergenzradius von $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{(1-\frac{1}{n}{)}^{n^2}}$ bestimmen, unter Zuhilfenahme der Ergebnisses aus a)

Lösungsvorschlag

$R=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\sqrt[n]{|a_n|}},a_n=\frac{1}{{(1-\frac{1}{n})}^{n^2}}$

$\begin{array}{cc}R& =\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\sqrt[n]{\frac{|1|}{|{(1-\frac{1}{n})}^{n^2}|}}}\\ & =\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\frac{\sqrt[n]{1}}{\sqrt[n]{{(1-\frac{1}{n})}^{n^2}}}}\\ & =\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\frac{1}{{(1-\frac{1}{n})}^n}}\\ & =\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{(1-\frac{1}{n})}^{-n}}\\ & =\frac{1}{e}\\ \end{array}$

Aufgabe 3

Theorie zu unbestimmten und bestimmten Integralen:

a) Definition Stammfunktion/unbestimmtes Integral

b) Definition bestimmtes Integral via Stammfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

c) Riemann-Summen

d) Erklärung wie sich Stammfunktion aus bestimmtem Integral herleiten lässt

Aufgabe 4

Multivariate Extremwertaufgabe: Gradient und Hesse-Matrix der Funktion $f(x,y)=x^3-y^3-3xy$ sowie deren stationäre Punkte bestimmen und einordnen

Aufgabe 5

Multiple Choice, ähnlich wie bei den Prüfungen aus 2021: 4 Fragen zur Funktion $f(x)=-\sqrt{(1-x{)}^2}$, 4 Fragen zur Landau-Notation von 3 Folgen