TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2022-06-08

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Angaben vorerst als Gedächtnisprotokoll nach der Prüfung

Aufgabe 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

a) Definition Hauptsatz über monotone Folgen

Zur rekursiv definierte Folge :

b) Monotones Wachstum beweisen

c) Beschränkung beweisen

d) Grenzwert mittels Rechenregeln für Grenzwerte bestimmen

Aufgabe 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

a) Regel von de L'Hospital anwenden auf die unbestimmte Form von . Gegebener Hinweis: Nutzung von

Lösungsvorschlag Durch den gegebenen Hinweis kann man den Exponenten dank Logarithmus-Regeln nach vorne ziehen und erhält dadurch einen neuen Ausdruck für den Limes:

Nun kann dieser neue Ausdruck für den Limes separat betrachtet werden:

Für die Regel von de l'Hospital benötigt man einen Bruch. Das bekommt man mit folgendem Trick (durch Kehrwert dividieren) hin:

Nun können beide Funktionen abgeleitet werden:

Und de l'Hospital angewendet werden:

Nun darf man nicht vergessen diesen Grenzwert wieder an die ursprüngliche Stelle (Exponentialfunktion) einzusetzen.

Damit haben wir den Grenzwert:

b) Konvergenzradius von bestimmen, unter Zuhilfenahme der Ergebnisses aus a)

Lösungsvorschlag

Aufgabe 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Theorie zu unbestimmten und bestimmten Integralen:

a) Definition Stammfunktion/unbestimmtes Integral

b) Definition bestimmtes Integral via Stammfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

c) Riemann-Summen

d) Erklärung wie sich Stammfunktion aus bestimmtem Integral herleiten lässt

Aufgabe 4[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Multivariate Extremwertaufgabe: Gradient und Hesse-Matrix der Funktion sowie deren stationäre Punkte bestimmen und einordnen

Aufgabe 5[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Multiple Choice, ähnlich wie bei den Prüfungen aus 2021: 4 Fragen zur Funktion , 4 Fragen zur Landau-Notation von 3 Folgen