TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2022-06-08

Angaben vorerst als Gedächtnisprotokoll nach der Prüfung

Aufgabe 1

a) Definition Hauptsatz über monotone Folgen

Zur rekursiv definierte Folge $a_{n+1}={\sqrt {2a_{n}+1}},a_{0}=1$:

b) Monotones Wachstum beweisen

c) Beschränkung beweisen

d) Grenzwert mittels Rechenregeln für Grenzwerte bestimmen

Aufgabe 2

a) Regel von de L'Hospital anwenden auf die unbestimmte Form $1^{-\infty }$ von $(1-{\frac {1}{x}})^{-x}$. Gegebener Hinweis: Nutzung von $\lim _{x\to \infty }f(x)=e^{\lim _{x\to \infty }\ln f(x)}$

Lösungsvorschlag

Durch den gegebenen Hinweis kann man den Exponenten dank Logarithmus-Regeln nach vorne ziehen und erhält dadurch einen neuen Ausdruck für den Limes:

$e^{\lim _{x\to \infty }\ln \left(\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{-x}\right)}=e^{\lim _{x\to \infty }-x\ln \left(1-{\frac {1}{x}}\right)}$

Nun kann dieser neue Ausdruck für den Limes separat betrachtet werden:

$\lim _{x\to \infty }-x\ln \left(1-{\frac {1}{x}}\right)$

Für die Regel von de l'Hospital benötigt man einen Bruch. Das bekommt man mit folgendem Trick (durch Kehrwert dividieren) hin:

$\lim _{x\to \infty }-x\ln \left(1-{\frac {1}{x}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln \left(1-{\frac {1}{x}}\right)}{-{\frac {1}{x}}}}$

Nun können beide Funktionen abgeleitet werden:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln \left(1-{\frac {1}{x}}\right)}{-{\frac {1}{x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}$

$f^{\prime }(x)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)x^{2}}}={\frac {1}{x(x-1)}}$

$g^{\prime }(x)={\frac {1}{x^{2}}}$

Und de l'Hospital angewendet werden:

${\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}&=\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)^{\prime }}{g(x)^{\prime }}}\\&=\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {1}{x(x-1)}}{\frac {1}{x^{2}}}}\\&=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\cancel {2}}}{{\cancel {x}}(x-1)}}\\&=\lim _{x\to \infty }{\frac {\cancel {x}}{{\cancel {x}}\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}}\\&=\lim _{x\to \infty }{\frac {\cancel {x}}{{\cancel {x}}\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}}\\&={\frac {\lim _{x\to \infty }1}{\lim _{x\to \infty }1-\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}}}\\&={\frac {1}{1-0}}=1\\\end{aligned}}$

Nun darf man nicht vergessen diesen Grenzwert wieder an die ursprüngliche Stelle (Exponentialfunktion) einzusetzen.

$e^{1}=e$

Damit haben wir den Grenzwert:

$\lim _{x\to \infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{-x}=e$

b) Konvergenzradius von $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(1-{\frac {1}{n}})^{n^{2}}}}$ bestimmen, unter Zuhilfenahme der Ergebnisses aus a)

Lösungsvorschlag

$R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}},\ a_{n}={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n^{2}}}}$

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {|1|}{|\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n^{2}}|}}}}}\\&={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{1}}{\sqrt[{n}]{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n^{2}}}}}}}\\&={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}}}}}\\&={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{-n}}}\\&={\frac {1}{e}}\\\end{aligned}}$

Aufgabe 3

Theorie zu unbestimmten und bestimmten Integralen:

a) Definition Stammfunktion/unbestimmtes Integral

b) Definition bestimmtes Integral via Stammfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

c) Riemann-Summen

d) Erklärung wie sich Stammfunktion aus bestimmtem Integral herleiten lässt

Aufgabe 4

Multivariate Extremwertaufgabe: Gradient und Hesse-Matrix der Funktion $f(x,y)=x^{3}-y^{3}-3xy$ sowie deren stationäre Punkte bestimmen und einordnen

Aufgabe 5

Multiple Choice, ähnlich wie bei den Prüfungen aus 2021: 4 Fragen zur Funktion $f(x)=-{\sqrt {(1-x)^{2}}}$, 4 Fragen zur Landau-Notation von 3 Folgen