TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2022-07-01

Aufgabe 1

a) Sandwich-Theorem (aka Satz von den zwei Polizisten / Kebablemma) definieren.

b) Mithilfe des oben genannten Satzes den Grenzwert der Reihe $\sum _{1\le k}^n\frac{k}{2\cdot (n^2+k)}$ bestimmen. (Hinweis: Gaußsche Summenformel)

Aufgabe 2

a) Integralkriterium zusammen mit dessen Voraussetzungen aufschreiben.

b) Folgende Reihe auf Konvergenz für verschiedene $\alpha >0$ überprüfen.

$\sum _{2\le n}\frac{1}{n\cdot l{n}^{\alpha }(n)}$

Aufgabe 3

Es war die Polynomfunktion $f(x,y)=2x{y}^2-x^2-2y^2$ gegeben.

a) Den Gradienten bestimmen und eine Richtungsableitung ausrechnen.

b) Alle stationären Punkte bestimmen.

c) Lokale Minima und Maxima, Sattelpunkte bestimmen und Aussagen über die Definitheit der Hesse-Matrix an diesen Stellen treffen.

Aufgabe 4

Eine Definition für ...

• Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle $x_0$
• Nullstellensatz von Bolzano
• Mittelwertsatz der Differentialrechnung

angeben.

Aufgabe 5

Multiple-Choice Fragen. Es waren die Funktion $f(x)=(1-x)e^{-x}$ und die Folge $a_{n\ge 0}=1-\frac{2\cdot (-1{)}^n}{1+n}$ gegeben.

a) Stammfunktion von $f(x)$

b) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$

c) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$

d) Alle Häufungspunkte der Reihe $a_n$

e) Grenzwert der Reihe $a_n$

f) Supremum von $a_n$

g) Infimum von $a_n$