TU Wien:Analysis VO (Panholzer)/Prüfung 2022-07-01

Aufgabe 1

a) Sandwich-Theorem (aka Satz von den zwei Polizisten / Kebablemma) definieren.

b) Mithilfe des oben genannten Satzes den Grenzwert der Reihe $\sum _{1\leq k}^{n}{\frac {k}{2*(n^{2}+k)}}$ bestimmen. (Hinweis: Summenformel)

Aufgabe 2

a) Integralkriterium zusammen mit dessen Voraussetzungen aufschreiben.

b) Folgende Reihe auf Konvergenz für verschiedene $\alpha >0$ überprüfen.

$\sum _{2\leq n}{\frac {1}{n*ln^{\alpha }(n)}}$

Aufgabe 3

Es war die Polynomfunktion $f(x,y)=2xy^{2}-x^{2}-2y^{2}$ gegeben.

a) Den Gradienten bestimmen und eine Richtungsableitung ausrechnen.

b) Alle stationären Punkte bestimmen.

c) Lokale Minima und Maxima, Sattelpunkte bestimmen und Aussagen über die Definitheit der Hesse-Matrix an diesen Stellen treffen.

Aufgabe 4

Eine Definition für ...

• Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle $x_{0}$
• Nullstellensatz von Bolzano
• Mittelwertsatz der Differentialrechnung

angeben.

Aufgabe 5

Multiple-Choice Fragen. Es waren die Funktion $f(x)=(1-x)e^{-x}$ und die Folge $a_{n\geq 0}=1-{\frac {2*(-1)^{n}}{1+n}}$ gegeben.

a) Stammfunktion von $f(x)$

b) $\lim _{x\to \infty }f(x)$

c) $\lim _{x\to -\infty }f(x)$

d) Alle Häufungspunkte der Reihe $a_{n}$

e) Grenzwert der Reihe $a_{n}$

f) Supremum von $a_{n}$

g) Infimum von $a_{n}$