TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 109

Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz
$\cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v)$

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Lösungsvorschlag von paper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eulersche Formeln:

    $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 
    $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

Durch umformen dieser kommen wir auf folgende Gleichung:

\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}

Weil:

{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}={\frac {(\cos x+i\sin x)+(\cos x-i\sin x)}{2}}={\frac {2\cos x}{2}}=\cos x

Jetzt können wir für $x$ unser $u+v$ aus der Angabe einsetzen und müssen nur noch umformen:

\cos(u+v)={\frac {e^{i(u+v)}+e^{-i(u+v)}}{2}}

    $e^{i(u+v)}=e^{iu+iv}=e^{iu}e^{iv}$  
    $e^{-i(u+v)}=e^{-iu-iv}=e^{-iu}e^{-iv}$

={\frac {e^{iu}e^{iv}+e^{-iu}e^{-iv}}{2}}

={\frac {(\cos u+i\sin u)\cdot (\cos v+i\sin v)+(\cos u-i\sin u)\cdot (\cos v-i\sin v)}{2}}

={\frac {\cos u\cdot \cos v{\cancel {+i\cos u\sin v}}{\cancel {+i\sin u\cos v}}-\sin u\sin v+\cos u\cdot \cos v{\cancel {-i\cos u\sin v}}{\cancel {-i\sin u\cos v}}-\sin u\sin v}{2}}

={\frac {\cos u\cdot \cos v-\sin u\sin v+\cos u\cdot \cos v-\sin u\sin v}{2}}

={\frac {2(\cos u\cos v-\sin u\sin v)}{2}}

=\cos u\cos v-\sin u\sin v

Alternativ kann man das Ganze auch wie in der Lösung von Yousif direkt über den Realteil zeigen, da ja folgendes gilt:

     $\Re {(e^{ix})}=\cos x$ 
     $\Im {(e^{ix})}=\sin x$

Das ist im Großen und Ganzen nicht viel anders als die obere Lösung, da wir in der oberen Lösung auch nur den Realteil von $e^{ix}$ ausrechnen, indem wir die zu $e^{ix}$ konjugiert komplexe Zahl, $e^{-ix}$ , addieren und durch $2$ dividieren.