TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 109

Man zeige mit Hilfe der Eulerschen Formeln den Summensatz

$\cos (u+v)=\cos (u)\cos (v)-\sin (u)\sin (v)$

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Lösungsvorschlag von paper

Eulersche Formeln:

   $e^{ix}=\cos x+i\sin x$
   $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

Durch umformen dieser kommen wir auf folgende Gleichung:

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

Weil:

$\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\frac{(\cos x+i\sin x)+(\cos x-i\sin x)}{2}=\frac{2\cos x}{2}=\cos x$

---

Jetzt können wir für $x$ unser $u+v$ aus der Angabe einsetzen und müssen nur noch umformen:

$\cos (u+v)=\frac{e^{i(u+v)}+e^{-i(u+v)}}{2}$

   $e^{i(u+v)}=e^{iu+iv}=e^{iu}{e}^{iv}$ 
   $e^{-i(u+v)}=e^{-iu-iv}=e^{-iu}{e}^{-iv}$

$=\frac{e^{iu}{e}^{iv}+e^{-iu}{e}^{-iv}}{2}$

$=\frac{(\cos u+i\sin u)\cdot (\cos v+i\sin v)+(\cos u-i\sin u)\cdot (\cos v-i\sin v)}{2}$

$=\frac{\cos u\cdot \cos v\cancel{+i\cos u\sin v}\cancel{+i\sin u\cos v}-\sin u\sin v+\cos u\cdot \cos v\cancel{-i\cos u\sin v}\cancel{-i\sin u\cos v}-\sin u\sin v}{2}$

$=\frac{\cos u\cdot \cos v-\sin u\sin v+\cos u\cdot \cos v-\sin u\sin v}{2}$

$=\frac{2(\cos u\cos v-\sin u\sin v)}{2}$

$=\cos u\cos v-\sin u\sin v$

---

Alternativ kann man das Ganze auch wie in der Lösung von Yousif direkt über den Realteil zeigen, da ja folgendes gilt:

    $\mathrm{\Re }(e^{ix})=\cos x$
    $\mathrm{\Im }(e^{ix})=\sin x$

Das ist im Großen und Ganzen nicht viel anders als die obere Lösung, da wir in der oberen Lösung auch nur den Realteil von $e^{ix}$ ausrechnen, indem wir die zu $e^{ix}$ konjugiert komplexe Zahl, $e^{-ix}$, addieren und durch $2$ dividieren.

--paper 19:23, 6. Apr. 2022 (CEST)

Lösungsvorschlag von Yousif

Euler'sche Formel: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$e^{i(u+v)}=e^{iu}{e}^{iv}=(\cos u+i\sin u)\cdot (\cos v+i\sin v)$

$=\cos u\cos v+(i^2\sin u\sin v)+(\cos u\cdot i\sin v)+(i\sin u\cos v)$

$=\cos u\cos v-\sin u\sin v+i(\cos u\sin v+\sin u\cos v)$

$\cos (u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$

--Yousafe 21:02, 9. Apr. 2021 (CEST)

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