TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 120

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

$f(x)={\frac {1-x^{3}}{x^{3}}},\quad D_{f}=(1,\infty )$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von xmozz

${\begin{aligned}f(x)={\frac {1-x^{3}}{x^{3}}}\\\\f(x)={\frac {{\frac {1}{x^{3}}}-1}{1}}\\\\f(x)={{\frac {1}{x^{3}}}-1}\\\\f(x)={{\frac {1}{x^{3}}}-1}\\\\\end{aligned}}$

Um zu garantieren, dass es eine Umkehrfunktion gibt muss die Folge monoton steigend/fallend sein.

${{\frac {1}{x^{3}}}-1}>{\frac {1}{(x+1)^{3}-1}}$

Wir haben hier 2 Funktionen die Addiert werden. Einmal die elementare Funktion ${\textstyle {\frac {1}{x^{3}}}}$ welche laut Definition stetig ist und die Konstante Funktion -1 welche natürlich auch stetig ist.

Inverse Funktion:

${\begin{aligned}x={{\frac {1}{y^{3}}}-1}\\\\x+1={\frac {1}{y^{3}}}\\\\(x+1)\cdot y^{3}={1}\\\\y^{3}={\frac {1}{(x+1)}}\\\\y={\sqrt[{3}]{\frac {1}{(x+1)}}}\\\\f^{-1}(x)={\sqrt[{3}]{\frac {1}{x+1}}}\end{aligned}}$

Lösungsvorschlag von Yousif

Stetigkeit

Elementare Funktionen: (Satz 4.92)

$x^{3}\to {\text{stetig}}$

$1\to {\text{stetig}}$

$1-x^{3}\to {\text{stetig}}$

${\frac {1-x^{3}}{x^{3}}}\to {\text{stetig}}$

Monotonie

Strenge Monotonie

${\frac {1-x^{3}}{x^{3}}}>{\frac {1-(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}$

$y={\frac {1-x^{3}}{x^{3}}}$