TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 120

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

$f(x)=\frac{1-x^3}{x^3},D_f=(1,\mathrm{\infty })$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von mo

$\begin{array}{c}f(x)=\frac{1-x^3}{x^3}\\ \\ f(x)=\frac{\frac{1}{x^3}-1}{1}\\ \\ f(x)=\frac{1}{x^3}-1\\ \\ f(x)=\frac{1}{x^3}-1\\ \\ \end{array}$

Um zu garantieren, dass es eine Umkehrfunktion gibt muss die Folge monoton steigend/fallend sein.

$\frac{1}{x^3}-1>\frac{1}{(x+1{)}^3-1}$

Wir haben hier 2 Funktionen die Addiert werden. Einmal die elementare Funktion $\frac{1}{x^3}$ welche laut Definition stetig ist und die Konstante Funktion -1 welche natürlich auch stetig ist.

Inverse Funktion:

$\begin{array}{c}x=\frac{1}{y^3}-1\\ \\ x+1=\frac{1}{y^3}\\ \\ (x+1)\cdot y^3=1\\ \\ y^3=\frac{1}{(x+1)}\\ \\ y=\sqrt[3]{\frac{1}{(x+1)}}\\ \\ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{1}{x+1}}\end{array}$

Lösungsvorschlag von Yousif

Stetigkeit

Elementare Funktionen: (Satz 4.92)

$x^3\to \text{stetig}$

$1\to \text{stetig}$

$1-x^3\to \text{stetig}$

$\frac{1-x^3}{x^3}\to \text{stetig}$

Monotonie

Strenge Monotonie

$\frac{1-x^3}{x^3}>\frac{1-(x+1{)}^3}{(x+1{)}^3}$

$\begin{array}{cc}(1-x^3)(x+1{)}^3& >(x^3)(1-(x+1{)}^3)\\ (1-x^3)(x^3+3x^2+3x+1)& >(x^3)(1-(x^3+3x^2+3x+1)\\ (1-x^3)(x^3+3x^2+3x+1)& >(x^3)(1-x^3-3x^2-3x-1)\\ x^3+3x^2+3x+1-x^6-3x^5-3x^4-x^3& >-x^6-3x^5-3x^4\\ x^3+3x^2+3x+1-x^6-3x^5-3x^4-x^3& >-x^6-3x^5-3x^4\\ \cancel{x^3}+3x^2+3x+1\cancel{-x^6}\cancel{-3x^5}\cancel{-3x^4}\cancel{-x^3}\cancel{+x^6}\cancel{+3x^5}\cancel{+3x^4}& >0\\ 3x^2+3x+1& >0\\ \end{array}$

Die Funktion ist also stetig und streng monoton fallend besitzt daher eine Umkehrfunktion. (Satz 4.91)

Umkehrfunktion

$y=\frac{1-x^3}{x^3}$

$y\cdot x^3=1-x^3$

$y\cdot x^3+x^3=1$

$x^3(y+1)=1$

$x^3=\frac{1}{y+1}$

$x=\sqrt[3]{\frac{1}{y+1}}$

--Yousafe 11:04, 25. Apr. 2021 (CEST)