TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 196

Man berechne die Grenzwerte
WS19: (ohne Verwendung der Regel von de l'Hospital):

(a) $lim_{x\to 1}\left({\frac {2}{1-x^{2}}}-{\frac {3}{1-x^{3}}}\right)$
(b) $lim_{x\to \infty }{\frac {17x^{2}+4x-1}{x^{3}-12x^{2}+1}}$
(c) $lim_{x\to 0}\left({\frac {1-cos(x)}{x}}\right)$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel (a)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\begin{aligned} l i m_{x \to 1} (\frac{2}{1 - x^{2}} - \frac{3}{1 - x^{3}}) & = l i m_{x \to 1} (\frac{2}{(1 - x) (1 + x)} - \frac{3}{(1 - x) (1 + x + x^{2})}) \\ = l i m_{x \to 1} (\frac{2 (1 + x + x^{2}) - 3 (1 + x)}{(1 - x) (1 + x) (1 + x + x^{2})}) \\ = l i m_{x \to 1} (\frac{2 x^{2} - x - 1}{(1 - x) (1 + x) (1 + x + x^{2})}) \\ = l i m_{x \to 1} (\frac{(2 x + 1) (x - 1)}{(1 - x) (1 + x) (1 + x + x^{2})}) \\ = l i m_{x \to 1} ((2 x + 1) \end{aligned}$

Beispiel (b)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

lim_{x\to \infty }{\frac {17x^{2}+4x-1}{x^{3}-12x^{2}+1}}=lim_{x\to \infty }{\frac {{\frac {17}{x}}+{\frac {4}{x^{2}}}-{\frac {1}{x^{3}}}}{1-{\frac {12}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}}}=0

Lösungsvorschlag von Paul&Fabi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel (c)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

${\begin{aligned}lim_{x\to 0}\left({\frac {1-cos(x)}{x}}\right)&=lim_{x\to 0}{\frac {1}{x}}*\left({1-cos(x)}\right)\\&=lim_{x\to 0}{\frac {1}{x}}*\left(1-\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...\right)\right)\\&=lim_{x\to 0}{\frac {1}{x}}*\left(1-1+{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}-...\right)\\&=lim_{x\to 0}\left({\frac {x}{2!}}-{\frac {x^{3}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{6!}}-...\right)\\&=0\end{aligned}}$