TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 196

Man berechne die Grenzwerte

WS19: (ohne Verwendung der Regel von de l'Hospital):

1. (a) $li{m}_{x\to 1}(\frac{2}{1-x^2}-\frac{3}{1-x^3})$
2. (b) $li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{17x^2+4x-1}{x^3-12x^2+1}$
3. (c) $li{m}_{x\to 0}\left(\frac{1-cos(x)}{x}\right)$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\begin{array}{cc}li{m}_{x\to 1}(\frac{2}{1-x^2}-\frac{3}{1-x^3})& =li{m}_{x\to 1}(\frac{2}{(1-x)(1+x)}-\frac{3}{(1-x)(1+x+x^2)})\\ & =li{m}_{x\to 1}\left(\frac{2(1+x+x^2)-3(1+x)}{(1-x)(1+x)(1+x+x^2)}\right)\\ & =li{m}_{x\to 1}\left(\frac{2x^2-x-1}{(1-x)(1+x)(1+x+x^2)}\right)\\ & =li{m}_{x\to 1}\left(\frac{(2x+1)(x-1)}{(1-x)(1+x)(1+x+x^2)}\right)\\ & =li{m}_{x\to 1}\left(\frac{(2x+1)(1-x)(-1)}{(1-x)(1+x)(1+x+x^2)}\right)\\ & =li{m}_{x\to 1}\left(\frac{-2x-1}{(1+x)(1+x+x^2)}\right)\\ & =-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\end{array}$

(Das ging auch viel viel einfacher. Habs aber nicht abgeschrieben.)

Beispiel (b)

$li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{17x^2+4x-1}{x^3-12x^2+1}=li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{\frac{17}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{1-\frac{12}{x}+\frac{1}{x^3}}=0$

Lösungsvorschlag von Paul&Fabi

Beispiel (c)

$\begin{array}{cc}li{m}_{x\to 0}\left(\frac{1-cos(x)}{x}\right)& =li{m}_{x\to 0}\frac{1}{x}\ast \left(1-cos(x)\right)\\ & =li{m}_{x\to 0}\frac{1}{x}\ast (1-(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\mathrm{...}))\\ & =li{m}_{x\to 0}\frac{1}{x}\ast (1-1+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}-\mathrm{...})\\ & =li{m}_{x\to 0}(\frac{x}{2!}-\frac{x^3}{4!}+\frac{x^5}{6!}-\mathrm{...})\\ & =0\end{array}$