TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 23

Man untersuche die Folge $a_{n}$ (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $\lim _{n\to \infty }a_{n}$. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle $n\geq 0$.

$a_{0}=2,a_{n+1}={\sqrt {4a_{n}-3}}\qquad \forall n\geq 0$

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Lösungsansatz von Padraig

Hier ist ja doch recht einiges gefragt, also gehen wir das Gefragte Schritt für Schritt durch. Kleiner Tipp: Solche Beispiele kommen doch recht gerne zu Übungstests, also gut aufpassen! ;)

Monotonie

$a_{0}=2$

$a_{1}={\sqrt {5}}>2$

Wir haben den Verdacht, dass $a_{n}$ monoton steigend sein könnte. Somit haben wir ja auch schon unseren Induktionsanfang. Bewiesen wird es nun folgendermaßen:

$a_{n}\leq a_{n+1}$

$a_{n}\leq {\sqrt {4a_{n}-3}}$

$a_{n}^{2}\leq 4a_{n}-3$

$a_{n}^{2}-4a_{n}+3\leq 0$

Wir sehen, dass dies für alle $a_{n}\in [1,3]$ gültig ist. Lediglich in diesem Bereich ist die Folge monoton steigend.

Beschränktheit

Da ja der Definitionsbereich für die Folge $a_{n}$ in $n\geq 0$ liegt, monoton steigend für $a_{n}\in [1,3]$ ist und unser $a_{0}$ bereits vordefiniert ist, ist es klar, dass $a_{0}=2$ unser Infimum ist. Für eine obere Schranke sehen wir uns die Folge genauer an. Schon alleine aufgrund dem Bereich, in welchem $a_{n}$ monoton fallend ist, haben wir den Verdacht, dass 3 eine obere Schranke sein könnte. Überprüfen wir dies genauer...

$a_{n}=3;a_{n+1}={\sqrt {4\cdot 3-3}}={\sqrt {9}}=3=a_{n}$

Was bedeutet das nun für uns?

Dies heißt, dass, sobald ein Wert von $a_{n}=3$ erreicht wurde, die Folge nicht weiter steigt. Das heißt also, dass für alle $a_{n}$ gelten muss, dass $a_{n}<3$ ist. Beweisen wir dies durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:

$a_{0}=2<3$

Induktionsvoraussetzung:

$a_{n}<3$

Induktionsbehauptung:

$a_{n+1}<3$

Induktionsschritt:

$a_{n}<3$

$4a_{n}<12$

$4a_{n}-3<9$

${\sqrt {4a_{n}-3}}<3$

$a_{n+1}<3$

Somit haben wir es bewiesen und wir stellen fest, dass die Folge durch den Wert 3 nach oben beschränkt ist.

Sehen wir nochmals den Intervall an, für welchen $a_{n}$ steigend ist, also $[1,3]$, so erkennen wir, dass durch diesen alle möglichen Resultate von $a_{n}$ abgedeckt werden, da $2\leq a_{n}\leq 3$ gilt. Somit haben wir bewiesen, dass die gesamte Folge monoton steigend ist!

Konvergenz und Grenzwert

Da wir eine beschränkte, monoton steigende Folge vor uns haben, ist es selbstverständlich, dass diese konvergiert und folglich auch ein Grenzwert $lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=a$ existieren muss. Dies bedeutet genauso, dass derselbe Grenzwert auch für $a_{n+1}$ existieren muss. Sehen wir uns doch diesen Zusammenhang genauer an...

$lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=a=lim_{n\rightarrow \infty }a_{n+1}=lim_{n\rightarrow \infty }{\sqrt {4a_{n}-3}}={\sqrt {4a-3}}$

$a^{2}=4a-3$

$a^{2}-4a+3=0$ w.A. für $a=3$

Und so ist es bewiesen: Der Grenzwert muss also 3 sein, und somit $lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=3$ gelten.

Hinweis: Somit ist auch bewiesen, dass 3 das Supremum der Folge ist.

Wohldefiniertheit

Trivialerweise ist die Folge wohldefiniert (für $n\geq 0$), da für jedes beliebige $n\geq 0$ ein definiertes Resultat vorliegt.

--Padraig (Diskussion) 00:45, 25. Apr. 2022 (CEST)