TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 241

Man berechne

$\int x\arctan (x)dx$.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

$\arctan (x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

Lösungsvorschlag

mit Hilfe der Partiellen Integration ergibt sich

$\int x\arctan (x)dx=\frac{x^2}{2}\arctan (x)-\int \frac{x^2}{2}\frac{1}{1+x^2}dx$

Nun betrachtet man das hintere Integral:

$-\int \frac{x^2}{2}\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}dx$

und mit einem kleinen Trick ergibt sich:

$-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}dx=-\frac{1}{2}\int \frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx=-\frac{1}{2}\int (1-\frac{1}{1+x^2})dx=-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\arctan x+c$

Zusammen ergibt das nun:

$\int x\arctan (x)dx=\frac{x^2}{2}\arctan (x)-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\arctan x+c=\left(\frac{x^2+1}{2}\right)\arctan x-\frac{x}{2}+c$

Links

• Siehe Beispiel 464 in Mathe 1!
• http://www.matheraum.de/read?t=98076
• http://henry78.at/wordpress/wp-content/uploads/2007/10/mathe2_ws08_ue2_v3.pdf