TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 284

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren:

$\sum _{n\geq 1}{\frac {e^{-{\sqrt {n}}}}{\sqrt {n}}}$

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}}

Lösungsvorschlag von Psygate

$\sum _{n\geq 1}f(n)\iff \int _{1}^{\infty }f(x)dx$

$\sum _{n\geq 1}{\frac {e^{-{\sqrt {n}}}}{\sqrt {n}}}\iff \int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-{\sqrt {x}}}}{\sqrt {x}}}dx$

$u={\sqrt {x}}$

daraus folgt: $dx=2u.du$

$\int {\frac {e^{-u}2u}{u}}.du=2\int e^{-u}du$ $=2-e^{-u}=-2e^{-{\sqrt {x}}}$

$-2e^{-{\sqrt {x}}}$ bei 1 ist ${\frac {-2}{e}}$ und bei $\infty$ gleich 0. Also konvergiert sowohl das Integral als auch die Summe.

--Psygate 20:22, 24. Mär. 2010 (CET)