TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 29

Sei $0<a_{0}<c$ und $(a_{n})n\in \mathbb {N}$ eine Folge positiver reeller Zahlen mit $a_{n+1}={\sqrt {a_{n}c}}$

(a) Zeigen Sie, dass aus $0<a<c$ stets $a<{\sqrt {ac}}<c$ folgt.

(b) Folgern Sie aus (a) mittels Induktion nach n, dass $0<a_{n}<c$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

(c) Zeigen die $a_{n}$ irgendein Monotonieverhalten? Wenn ja, welches?

(d) Untersuchen Sie die $a_{n}$ hinsichtlich Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

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Lösung(sversuche)

(a) Zu zeigen: Aus $0<a<c$ folgt $a<{\sqrt {ac}}<c$

Ich habe folgender Formel einfache Umformungen unterzogen um zu dem gewünschten Ergebnis zu kommen:

$0<a<c$

$0<{\sqrt {a^{2}}}<{\sqrt {c^{2}}}$

$0<{\sqrt {aa}}<{\sqrt {cc}}$

$0<{\sqrt {aa}}<{\sqrt {ac}}<{\sqrt {cc}}$

$\Rightarrow a<{\sqrt {ac}}<c$

(b) Folgern Sie aus (a) mittels Induktion nach n, dass $0<a_{n}<c$ für alle $n\in \mathbb {N}$

Induktionsanfang für n = 0: Erfüllt per Definition $0<a_{0}<c$.

Induktionsschritt: $n\rightarrow n+1$

Wir wissen bereits aus (a), dass $0<{\sqrt {a_{n}c}}<c$ korrekt ist.

$0<a_{n}<c$

$0<a_{n}c<c^{2}$

$0<{\sqrt {a_{n}c}}<c\iff 0<a_{n+1}<c$

(c) Zeigen die $a_{n}$ irgendein Monotonieverhalten? Wenn ja, welches?

Ich habe erst auf wachsende Monotonie geprüft:

$a_{n+1}\geq a_{n}$

${\sqrt {a_{n}c}}\geq a_{n}$ /²

$a_{n}c\geq a_{n}^{2}$ / - $a_{n}^{2}$

$a_{n}c-a_{n}^{2}\geq 0$

$a_{n}\cdot (c-a_{n})\geq 0$

Hier muss man eigentlich nur aufpassen, dass Quadrieren die Relation zweier positiver Zahlen erhält und dadurch bestätigt sich der Verdacht auf monotones Wachstum, weil alle Umformungen Äquivalenaussagen sind.

(d) Untersuchen Sie die $a_{n}$ hinsichtlich Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.

Laut (b) ist c eine obere Schranke der Folge. Da die Folge also beschränkt und laut (c) auch monoton wachsend ist, gibt es jedenfalls einen Grenzwert (Hauptsatz über monotone Folgen). Dieser ist die kleinste obere Schranke (Supremum). Man könnte also prüfen, ob c das Supremum ist, um den Grenzwert zu bestimmen.

Es geht aber auch anders. Alle Folgenglieder haben ja den selben Grenzwert (nennen wir ihn mal a), bzw. folgende Annahme gilt:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ und $\lim _{n\to \infty }a_{n+1}=a$

Es gilt (glaubt Mangostaniko): $\lim _{n\to \infty }a_{n+1}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt {a_{n}c}}={\sqrt {ac}}$

Daraus folgt eine einfache Gleichung:

$a={\sqrt {ac}}$ / ²

$a^{2}=ac$ / :a

$a=c$

Daraus folgt: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a=c$.

Eine Erklärung zu diesem Punkt könnt ihr im Buch "Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1" von Modler, Kreh nachlesen.

Hier ein Auszug: Klick mich :-)

--Greendot (Diskussion) 02:04, 17. Mär. 2014 (CET)

Alternative Erklärung zu (d): Der Grenzwert ist ja ein Punkt, in dem die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder 0 ist bzw. wo gilt $a_{n}=a_{n+1}$. Da die Folge monoton wachsend und beschränkt ist, gibt es nur einen solchen Punkt und dieser ist der Grenzwert. Somit liefert die Gleichung $a={\sqrt {ac}}$ den Grenzwert. Weiß nicht, was ich davon halten soll, aber es scheint intuitiv Sinn zu machen.

--Mangostaniko