TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 348

Gegeben sei die Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ mit

$f(x,y)={\begin{cases}1&{\text{falls }}y-1=(x-1)^{2}>0\\0&{\text{sonst}}.\end{cases}}$

Zeigen Sie: $f$ ist an der Stelle $(1,1)$ unstetig, aber an dieser Stelle existieren alle Richtungsableitungen und sind identisch 0.

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Lösungsvorschlag von andrey

Beginnen wir mit dem, dass wir die Angabe entschlüsseln. Es ist eine Parabel mit Scheitelpunkt im (1, 1) in impliziter Form gegeben. Explizite Gleichung dieser Parabel lautet $y=g(x)=x^{2}-2*x+2$, auf die wir später noch zu sprechen kommen werden. Die Funktion nimmt also den Wert 1 für alle Punkte auf den Ästen der Parabel an und 0 andernfalls. Die einzige Ausnahme zu dieser Regel ist der Scheitelpunkt selbst, wo die Funktion wegen der verletzten Bedingung $(x-1)^{2}>0$ ebenfalls den Wert 0 annimmt.

Stetigkeit

Zur Erinnerung: Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn für eine beliebige Folge ${\vec {a_{n}}}$ der Grenzwert der Funktionswerte gleich der Funktion der Grenzwerte ist. Um die Stetigkeit zu widerlegen, müssen wir also eine Folge finden, die selbst zu $(1,1)$ konvergiert, der Grenzwert der Funktionswerte jedoch ungleich $f(1,1)=0$ ist.

Wir betrachten nun die Folge ${\vec {a_{n}}}=(1+{\frac {1}{n}},g(1+{\frac {1}{n}}))$. Klarerweise liegt jedes der Folgenglieder ${\vec {a_{n}}}$ auf den Ästen der Parabel und die Folge konvergiert zu $(1,1)$, wodurch $f(a_{n})=1$ für alle ${\vec {a_{n}}}$ gilt. Die Funktion ist also nicht stetig, weil $\lim _{n\to \infty }f({\vec {a_{n}}})=1\neq 0$ ist.

Richtungsableitungen

Die Definition der Richtungsableitung an der Stelle ${\vec {x_{0}}}$ lautet $\lim _{h\to 0}{\frac {f({\vec {x_{0}}}+h*{\vec {v}})-f({\vec {x_{0}}})}{h}}$, wo ${\vec {v}}$ für einen beliebigen Einheitsvektor steht. Wenn wir nun für ${\vec {x_{0}}}=(1,1)$ einsetzen und vereinfachen, erhalten wir $\lim _{h\to 0}{\frac {f((1,1)+h*{\vec {v}})}{h}}$. Konzeptuell entspricht $f((1,1)+h*{\vec {v}})$ einer Geraden durch den Punkt $(1,1)$ mit der Richtung ${\vec {v}}$, auf der abhängig von dem Wert $h$ ein Punkt herauf und herunter verschoben wird. Da eine Gerade und eine Parabel maximal zwei Schnittpunkte haben können, wird $f((1,1)+h*{\vec {v}})$ für fast alle $h$ genau 0 sein.

$\lim _{h\to 0}{\frac {f((1,1)+h*{\vec {v}})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0$

Demzufolge existieren alle Richtungsableitungen und sind identisch 0.