TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 348

Gegeben sei die Funktion $f:{ℝ}^2\to ℝ$ mit

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}1& \text{falls }y-1=(x-1{)}^2>0\\ 0& \text{sonst}.\end{array}$

Zeigen Sie: $f$ ist an der Stelle $(1,1)$ unstetig, aber an dieser Stelle existieren alle Richtungsableitungen und sind identisch 0.

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Lösungsvorschlag von andrey

Beginnen wir mit dem, dass wir die Angabe entschlüsseln. Es ist eine Parabel mit Scheitelpunkt im (1, 1) in impliziter Form gegeben. Explizite Gleichung dieser Parabel lautet $y=g(x)=x^2-2\ast x+2$, auf die wir später noch zu sprechen kommen werden. Die Funktion nimmt also den Wert 1 für alle Punkte auf den Ästen der Parabel an und 0 andernfalls. Die einzige Ausnahme zu dieser Regel ist der Scheitelpunkt selbst, wo die Funktion wegen der verletzten Bedingung $(x-1{)}^2>0$ ebenfalls den Wert 0 annimmt.

Stetigkeit

Zur Erinnerung: Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn für eine beliebige Folge $\overrightarrow{a_n}$ der Grenzwert der Funktionswerte gleich der Funktion der Grenzwerte ist. Um die Stetigkeit zu widerlegen, müssen wir also eine Folge finden, die selbst zu $(1,1)$ konvergiert, der Grenzwert der Funktionswerte jedoch ungleich $f(1,1)=0$ ist.

Wir betrachten nun die Folge $\overrightarrow{a_n}=(1+\frac{1}{n},g(1+\frac{1}{n}))$. Klarerweise liegt jedes der Folgenglieder $\overrightarrow{a_n}$ auf den Ästen der Parabel und die Folge konvergiert zu $(1,1)$, wodurch $f(a_n)=1$ für alle $\overrightarrow{a_n}$ gilt. Die Funktion ist also nicht stetig, weil $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(\overrightarrow{a_n})=1\ne 0$ ist.

Richtungsableitungen

Die Definition der Richtungsableitung an der Stelle $\overrightarrow{x_0}$ lautet $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(\overrightarrow{x_0}+h\ast \overrightarrow{v})-f(\overrightarrow{x_0})}{h}$, wo $\overrightarrow{v}$ für einen beliebigen Einheitsvektor steht. Wenn wir nun für $\overrightarrow{x_0}=(1,1)$ einsetzen und vereinfachen, erhalten wir $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f((1,1)+h\ast \overrightarrow{v})}{h}$. Konzeptuell entspricht $f((1,1)+h\ast \overrightarrow{v})$ einer Geraden durch den Punkt $(1,1)$ mit der Richtung $\overrightarrow{v}$, auf der abhängig von dem Wert $h$ ein Punkt herauf und herunter verschoben wird. Da eine Gerade und eine Parabel maximal zwei Schnittpunkte haben können, wird $f((1,1)+h\ast \overrightarrow{v})$ für fast alle $h$ genau 0 sein.

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f((1,1)+h\ast \overrightarrow{v})}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{0}{h}=0$

Demzufolge existieren alle Richtungsableitungen und sind identisch 0.