TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 364

Gegeben sei die quadratische Form q(x) = q(x, y) = 4x2 + 2bxy + 25y2 mit b ∈ R. Wie lautet die zugehörige symmetrische Matrix A, sodass q(x) = xAxT? Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?

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Hilfreiches

Eine 2x2 symmetrische Matrix ist positiv definit, falls g₁₁>0 und g₁₁*g₂₂-g²₁₂ (negativ definit <0).

Lösungsvorschlag von Klemens

Wie lautet die dazugehörige symmetrische Matrix A?

x = (x, y)

A = {(4,b), (b,25)}

q(x) = (x, y) {(4,b), (b,25)} (x, y)^T = (x, y) {(4x, by),(bx, 25y)} = x(4x+by) + y(bx + 25y) = 4x² + 2bxy + 25y²

Für welche Werte von b ist die Form positiv definit?

4>0

und

4*25 - b² > 0

100 > b²

10 > |b|

A: Für alle |b| < 10 ist die Form Positiv definit.